Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7544 / 5080
↖ ↑ ↗
← N 56.267761°
W 14.238281°		 ← 1 356.78 m → N 56.267761°
W 14.216308°		 →
↑
1 356.96 m
↓
↑
1 356.96 m
↓
N 56.255557°
W 14.238281°		 ← 1 357.22 m →
1 841 393 m²		 N 56.255557°
W 14.216308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460479736328125 y=0.310089111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460479736328125 × 214)
    floor (0.460479736328125 × 16384)
    floor (7544.5)     		tx = 7544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310089111328125 × 214)
    floor (0.310089111328125 × 16384)
    floor (5080.5)     		ty = 5080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7544 / 5080 ti = "14/7544/5080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7544/5080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7544 ÷ 214
    7544 ÷ 16384     		x = 0.46044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5080 ÷ 214
    5080 ÷ 16384     		y = 0.31005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46044921875 × 2 - 1) × π
    -0.0791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24850489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31005859375 × 2 - 1) × π
    0.3798828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19343705294092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24850489} λ = -0.24850489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19343705294092))-π/2
    2×atan(3.29839851746969)-π/2
    2×1.27642701023985-π/2
    2.5528540204797-1.57079632675     		φ = 0.98205769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24850489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.238281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98205769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.267761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7544 KachelY 5080 -0.24850489 0.98205769 -14.238281 56.267761
    Oben rechts KachelX + 1 7545 KachelY 5080 -0.24812139 0.98205769 -14.216308 56.267761
    Unten links KachelX 7544 KachelY + 1 5081 -0.24850489 0.98184470 -14.238281 56.255557
    Unten rechts KachelX + 1 7545 KachelY + 1 5081 -0.24812139 0.98184470 -14.216308 56.255557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98205769-0.98184470) × R
    0.000212989999999968 × 6371000     		dl = 1356.9592899998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98205769-0.98184470) × R
    0.000212989999999968 × 6371000     		dr = 1356.9592899998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24850489--0.24812139) × cos(0.98205769) × R
    0.000383500000000009 × 0.55531246259701 × 6371000     		do = 1356.78300064536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24850489--0.24812139) × cos(0.98184470) × R
    0.000383500000000009 × 0.555489581384978 × 6371000     		du = 1357.21575117195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98205769)-sin(0.98184470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55531246259701-0.555489581384978)×R²
    abs(-0.24812139--0.24850489)×0.000177118787967556×R²
    0.000383500000000009×0.000177118787967556×6371000²
    0.000383500000000009×0.000177118787967556×40589641000000     		ar = 1841392.91662477m²