Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75439 / 55873
↖ ↑ ↗
← N 25.639050°
E 27.199402°		 ← 275.30 m → N 25.639050°
E 27.202148°		 →
↑
275.29 m
↓
↑
275.29 m
↓
N 25.636574°
E 27.199402°		 ← 275.30 m →
75 787 m²		 N 25.636574°
E 27.202148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575557708740234 y=0.426280975341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575557708740234 × 217)
    floor (0.575557708740234 × 131072)
    floor (75439.5)     		tx = 75439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426280975341797 × 217)
    floor (0.426280975341797 × 131072)
    floor (55873.5)     		ty = 55873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75439 / 55873 ti = "17/75439/55873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75439/55873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75439 ÷ 217
    75439 ÷ 131072     		x = 0.575553894042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55873 ÷ 217
    55873 ÷ 131072     		y = 0.426277160644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575553894042969 × 2 - 1) × π
    0.151107788085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.47471912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426277160644531 × 2 - 1) × π
    0.147445678710938 × 3.1415926535     		Φ = 0.463214261028603
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47471912} λ = 0.47471912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.463214261028603))-π/2
    2×atan(1.58917380395482)-π/2
    2×1.00914108537492-π/2
    2.01828217074984-1.57079632675     		φ = 0.44748584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47471912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.199402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44748584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.639050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75439 KachelY 55873 0.47471912 0.44748584 27.199402 25.639050
    Oben rechts KachelX + 1 75440 KachelY 55873 0.47476705 0.44748584 27.202148 25.639050
    Unten links KachelX 75439 KachelY + 1 55874 0.47471912 0.44744263 27.199402 25.636574
    Unten rechts KachelX + 1 75440 KachelY + 1 55874 0.47476705 0.44744263 27.202148 25.636574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44748584-0.44744263) × R
    4.32100000000157e-05 × 6371000     		dl = 275.2909100001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44748584-0.44744263) × R
    4.32100000000157e-05 × 6371000     		dr = 275.2909100001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47471912-0.47476705) × cos(0.44748584) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.901537828286044 × 6371000     		do = 275.295421367386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47471912-0.47476705) × cos(0.44744263) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.901556524424096 × 6371000     		du = 275.301130458055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44748584)-sin(0.44744263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901537828286044-0.901556524424096)×R²
    abs(0.47476705-0.47471912)×1.86961380526096e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.86961380526096e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.86961380526096e-05×40589641000000     		ar = 75787.1129091824m²