Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75435 / 61210
↖ ↑ ↗
← N 11.797457°
E 27.188416°		 ← 298.97 m → N 11.797457°
E 27.191162°		 →
↑
298.93 m
↓
↑
298.93 m
↓
N 11.794769°
E 27.188416°		 ← 298.98 m →
89 372 m²		 N 11.794769°
E 27.191162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575527191162109 y=0.466999053955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575527191162109 × 217)
    floor (0.575527191162109 × 131072)
    floor (75435.5)     		tx = 75435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466999053955078 × 217)
    floor (0.466999053955078 × 131072)
    floor (61210.5)     		ty = 61210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75435 / 61210 ti = "17/75435/61210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75435/61210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75435 ÷ 217
    75435 ÷ 131072     		x = 0.575523376464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61210 ÷ 217
    61210 ÷ 131072     		y = 0.466995239257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575523376464844 × 2 - 1) × π
    0.151046752929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.47452737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466995239257812 × 2 - 1) × π
    0.066009521484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.207375027756363
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47452737} λ = 0.47452737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.207375027756363))-π/2
    2×atan(1.23044393589178)-π/2
    2×0.88835039877299-π/2
    1.77670079754598-1.57079632675     		φ = 0.20590447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47452737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.188416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20590447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.797457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75435 KachelY 61210 0.47452737 0.20590447 27.188416 11.797457
    Oben rechts KachelX + 1 75436 KachelY 61210 0.47457531 0.20590447 27.191162 11.797457
    Unten links KachelX 75435 KachelY + 1 61211 0.47452737 0.20585755 27.188416 11.794769
    Unten rechts KachelX + 1 75436 KachelY + 1 61211 0.47457531 0.20585755 27.191162 11.794769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20590447-0.20585755) × R
    4.69200000000058e-05 × 6371000     		dl = 298.927320000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20590447-0.20585755) × R
    4.69200000000058e-05 × 6371000     		dr = 298.927320000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47452737-0.47457531) × cos(0.20590447) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.978876463687275 × 6371000     		do = 298.974068290073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47452737-0.47457531) × cos(0.20585755) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.978886055526138 × 6371000     		du = 298.976997884556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20590447)-sin(0.20585755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978876463687275-0.978886055526138)×R²
    abs(0.47457531-0.47452737)×9.5918388631766e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.5918388631766e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.5918388631766e-06×40589641000000     		ar = 89371.9548677736m²