Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75435 / 55868
↖ ↑ ↗
← N 25.651430°
E 27.188416°		 ← 275.32 m → N 25.651430°
E 27.191162°		 →
↑
275.35 m
↓
↑
275.35 m
↓
N 25.648954°
E 27.188416°		 ← 275.33 m →
75 813 m²		 N 25.648954°
E 27.191162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575527191162109 y=0.426242828369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575527191162109 × 217)
    floor (0.575527191162109 × 131072)
    floor (75435.5)     		tx = 75435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426242828369141 × 217)
    floor (0.426242828369141 × 131072)
    floor (55868.5)     		ty = 55868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75435 / 55868 ti = "17/75435/55868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75435/55868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75435 ÷ 217
    75435 ÷ 131072     		x = 0.575523376464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55868 ÷ 217
    55868 ÷ 131072     		y = 0.426239013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575523376464844 × 2 - 1) × π
    0.151046752929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.47452737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426239013671875 × 2 - 1) × π
    0.14752197265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.463453945526703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47452737} λ = 0.47452737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.463453945526703))-π/2
    2×atan(1.58955474993202)-π/2
    2×1.0092491220924-π/2
    2.01849824418479-1.57079632675     		φ = 0.44770192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47452737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.188416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44770192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.651430°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75435 KachelY 55868 0.47452737 0.44770192 27.188416 25.651430
    Oben rechts KachelX + 1 75436 KachelY 55868 0.47457531 0.44770192 27.191162 25.651430
    Unten links KachelX 75435 KachelY + 1 55869 0.47452737 0.44765870 27.188416 25.648954
    Unten rechts KachelX + 1 75436 KachelY + 1 55869 0.47457531 0.44765870 27.191162 25.648954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44770192-0.44765870) × R
    4.3219999999955e-05 × 6371000     		dl = 275.354619999713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44770192-0.44765870) × R
    4.3219999999955e-05 × 6371000     		dr = 275.354619999713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47452737-0.47457531) × cos(0.44770192) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.901444309360652 × 6371000     		do = 275.324295255086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47452737-0.47457531) × cos(0.44765870) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.901463018244411 × 6371000     		du = 275.330009429752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44770192)-sin(0.44765870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901444309360652-0.901463018244411)×R²
    abs(0.47457531-0.47452737)×1.87088837582117e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87088837582117e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87088837582117e-05×40589641000000     		ar = 75812.6034206125m²