Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75434 / 60711
↖ ↑ ↗
← N 13.135654°
E 27.185669°		 ← 297.43 m → N 13.135654°
E 27.188416°		 →
↑
297.46 m
↓
↑
297.46 m
↓
N 13.132979°
E 27.185669°		 ← 297.44 m →
88 476 m²		 N 13.132979°
E 27.188416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575519561767578 y=0.463191986083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575519561767578 × 217)
    floor (0.575519561767578 × 131072)
    floor (75434.5)     		tx = 75434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463191986083984 × 217)
    floor (0.463191986083984 × 131072)
    floor (60711.5)     		ty = 60711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75434 / 60711 ti = "17/75434/60711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75434/60711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75434 ÷ 217
    75434 ÷ 131072     		x = 0.575515747070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60711 ÷ 217
    60711 ÷ 131072     		y = 0.463188171386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575515747070312 × 2 - 1) × π
    0.151031494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47447943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463188171386719 × 2 - 1) × π
    0.0736236572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.231295540666771
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47447943} λ = 0.47447943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.231295540666771))-π/2
    2×atan(1.26023163411507)-π/2
    2×0.900028367069638-π/2
    1.80005673413928-1.57079632675     		φ = 0.22926041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47447943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.185669°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22926041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.135654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75434 KachelY 60711 0.47447943 0.22926041 27.185669 13.135654
    Oben rechts KachelX + 1 75435 KachelY 60711 0.47452737 0.22926041 27.188416 13.135654
    Unten links KachelX 75434 KachelY + 1 60712 0.47447943 0.22921372 27.185669 13.132979
    Unten rechts KachelX + 1 75435 KachelY + 1 60712 0.47452737 0.22921372 27.188416 13.132979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22926041-0.22921372) × R
    4.66899999999881e-05 × 6371000     		dl = 297.461989999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22926041-0.22921372) × R
    4.66899999999881e-05 × 6371000     		dr = 297.461989999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47447943-0.47452737) × cos(0.22926041) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.973834738592117 × 6371000     		do = 297.434195672353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47447943-0.47452737) × cos(0.22921372) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.973845348176201 × 6371000     		du = 297.437436112423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22926041)-sin(0.22921372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973834738592117-0.973845348176201)×R²
    abs(0.47452737-0.47447943)×1.06095840840537e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.06095840840537e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.06095840840537e-05×40589641000000     		ar = 88475.8497086566m²