Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75433 / 56778
↖ ↑ ↗
← N 23.377556°
E 27.182923°		 ← 280.29 m → N 23.377556°
E 27.185669°		 →
↑
280.39 m
↓
↑
280.39 m
↓
N 23.375035°
E 27.182923°		 ← 280.30 m →
78 592 m²		 N 23.375035°
E 27.185669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575511932373047 y=0.433185577392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575511932373047 × 217)
    floor (0.575511932373047 × 131072)
    floor (75433.5)     		tx = 75433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433185577392578 × 217)
    floor (0.433185577392578 × 131072)
    floor (56778.5)     		ty = 56778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75433 / 56778 ti = "17/75433/56778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75433/56778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75433 ÷ 217
    75433 ÷ 131072     		x = 0.575508117675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56778 ÷ 217
    56778 ÷ 131072     		y = 0.433181762695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575508117675781 × 2 - 1) × π
    0.151016235351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.47443150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433181762695312 × 2 - 1) × π
    0.133636474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.419831366872452
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47443150} λ = 0.47443150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.419831366872452))-π/2
    2×atan(1.5217049241204)-π/2
    2×0.989405826328429-π/2
    1.97881165265686-1.57079632675     		φ = 0.40801533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47443150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.182923°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40801533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.377556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75433 KachelY 56778 0.47443150 0.40801533 27.182923 23.377556
    Oben rechts KachelX + 1 75434 KachelY 56778 0.47447943 0.40801533 27.185669 23.377556
    Unten links KachelX 75433 KachelY + 1 56779 0.47443150 0.40797132 27.182923 23.375035
    Unten rechts KachelX + 1 75434 KachelY + 1 56779 0.47447943 0.40797132 27.185669 23.375035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40801533-0.40797132) × R
    4.40099999999832e-05 × 6371000     		dl = 280.387709999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40801533-0.40797132) × R
    4.40099999999832e-05 × 6371000     		dr = 280.387709999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47443150-0.47447943) × cos(0.40801533) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.917910124042331 × 6371000     		do = 280.294898834965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47443150-0.47447943) × cos(0.40797132) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.917927585809194 × 6371000     		du = 280.300230995542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40801533)-sin(0.40797132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917910124042331-0.917927585809194)×R²
    abs(0.47447943-0.47443150)×1.74617668630139e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.74617668630139e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.74617668630139e-05×40589641000000     		ar = 78591.9923578511m²