Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75432 / 54920
↖ ↑ ↗
← N 27.974998°
E 27.180176°		 ← 269.74 m → N 27.974998°
E 27.182923°		 →
↑
269.68 m
↓
↑
269.68 m
↓
N 27.972572°
E 27.180176°		 ← 269.74 m →
72 745 m²		 N 27.972572°
E 27.182923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575504302978516 y=0.419010162353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575504302978516 × 217)
    floor (0.575504302978516 × 131072)
    floor (75432.5)     		tx = 75432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419010162353516 × 217)
    floor (0.419010162353516 × 131072)
    floor (54920.5)     		ty = 54920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75432 / 54920 ti = "17/75432/54920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75432/54920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75432 ÷ 217
    75432 ÷ 131072     		x = 0.57550048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54920 ÷ 217
    54920 ÷ 131072     		y = 0.41900634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57550048828125 × 2 - 1) × π
    0.1510009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47438356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41900634765625 × 2 - 1) × π
    0.1619873046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.508898126366516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47438356} λ = 0.47438356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.508898126366516))-π/2
    2×atan(1.66345726505115)-π/2
    2×1.02952607465262-π/2
    2.05905214930525-1.57079632675     		φ = 0.48825582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47438356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.180176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48825582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.974998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75432 KachelY 54920 0.47438356 0.48825582 27.180176 27.974998
    Oben rechts KachelX + 1 75433 KachelY 54920 0.47443150 0.48825582 27.182923 27.974998
    Unten links KachelX 75432 KachelY + 1 54921 0.47438356 0.48821349 27.180176 27.972572
    Unten rechts KachelX + 1 75433 KachelY + 1 54921 0.47443150 0.48821349 27.182923 27.972572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48825582-0.48821349) × R
    4.23299999999793e-05 × 6371000     		dl = 269.684429999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48825582-0.48821349) × R
    4.23299999999793e-05 × 6371000     		dr = 269.684429999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47438356-0.47443150) × cos(0.48825582) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.883152372355323 × 6371000     		do = 269.737466859515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47438356-0.47443150) × cos(0.48821349) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.883172227984024 × 6371000     		du = 269.743531279605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48825582)-sin(0.48821349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883152372355323-0.883172227984024)×R²
    abs(0.47443150-0.47438356)×1.98556287017704e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.98556287017704e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.98556287017704e-05×40589641000000     		ar = 72744.8127503174m²