Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7543 / 5016
↖ ↑ ↗
← N 57.040730°
W 14.260254°		 ← 1 329.21 m → N 57.040730°
W 14.238281°		 →
↑
1 329.44 m
↓
↑
1 329.44 m
↓
N 57.028774°
W 14.260254°		 ← 1 329.64 m →
1 767 389 m²		 N 57.028774°
W 14.238281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460418701171875 y=0.306182861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460418701171875 × 214)
    floor (0.460418701171875 × 16384)
    floor (7543.5)     		tx = 7543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306182861328125 × 214)
    floor (0.306182861328125 × 16384)
    floor (5016.5)     		ty = 5016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7543 / 5016 ti = "14/7543/5016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7543/5016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7543 ÷ 214
    7543 ÷ 16384     		x = 0.46038818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5016 ÷ 214
    5016 ÷ 16384     		y = 0.30615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46038818359375 × 2 - 1) × π
    -0.0792236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24888838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30615234375 × 2 - 1) × π
    0.3876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21798074554639
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24888838} λ = -0.24888838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21798074554639))-π/2
    2×atan(3.38035504049963)-π/2
    2×1.28317243509796-π/2
    2.56634487019593-1.57079632675     		φ = 0.99554854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24888838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.260254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99554854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.040730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7543 KachelY 5016 -0.24888838 0.99554854 -14.260254 57.040730
    Oben rechts KachelX + 1 7544 KachelY 5016 -0.24850489 0.99554854 -14.238281 57.040730
    Unten links KachelX 7543 KachelY + 1 5017 -0.24888838 0.99533987 -14.260254 57.028774
    Unten rechts KachelX + 1 7544 KachelY + 1 5017 -0.24850489 0.99533987 -14.238281 57.028774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99554854-0.99533987) × R
    0.000208670000000022 × 6371000     		dl = 1329.43657000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99554854-0.99533987) × R
    0.000208670000000022 × 6371000     		dr = 1329.43657000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24888838--0.24850489) × cos(0.99554854) × R
    0.000383489999999986 × 0.544042714757169 × 6371000     		do = 1329.21320708642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24888838--0.24850489) × cos(0.99533987) × R
    0.000383489999999986 × 0.544217789044254 × 6371000     		du = 1329.64095117398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99554854)-sin(0.99533987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544042714757169-0.544217789044254)×R²
    abs(-0.24850489--0.24888838)×0.00017507428708563×R²
    0.000383489999999986×0.00017507428708563×6371000²
    0.000383489999999986×0.00017507428708563×40589641000000     		ar = 1767388.98255842m²