Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7543 / 5014
↖ ↑ ↗
← N 57.064630°
W 14.260254°		 ← 1 328.36 m → N 57.064630°
W 14.238281°		 →
↑
1 328.54 m
↓
↑
1 328.54 m
↓
N 57.052682°
W 14.260254°		 ← 1 328.79 m →
1 765 067 m²		 N 57.052682°
W 14.238281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460418701171875 y=0.306060791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460418701171875 × 214)
    floor (0.460418701171875 × 16384)
    floor (7543.5)     		tx = 7543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306060791015625 × 214)
    floor (0.306060791015625 × 16384)
    floor (5014.5)     		ty = 5014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7543 / 5014 ti = "14/7543/5014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7543/5014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7543 ÷ 214
    7543 ÷ 16384     		x = 0.46038818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5014 ÷ 214
    5014 ÷ 16384     		y = 0.3060302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46038818359375 × 2 - 1) × π
    -0.0792236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24888838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3060302734375 × 2 - 1) × π
    0.387939453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21874773594031
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24888838} λ = -0.24888838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21874773594031))-π/2
    2×atan(3.38294873488593)-π/2
    2×1.28338100573895-π/2
    2.5667620114779-1.57079632675     		φ = 0.99596568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24888838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.260254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99596568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.064630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7543 KachelY 5014 -0.24888838 0.99596568 -14.260254 57.064630
    Oben rechts KachelX + 1 7544 KachelY 5014 -0.24850489 0.99596568 -14.238281 57.064630
    Unten links KachelX 7543 KachelY + 1 5015 -0.24888838 0.99575715 -14.260254 57.052682
    Unten rechts KachelX + 1 7544 KachelY + 1 5015 -0.24850489 0.99575715 -14.238281 57.052682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99596568-0.99575715) × R
    0.000208529999999985 × 6371000     		dl = 1328.5446299999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99596568-0.99575715) × R
    0.000208529999999985 × 6371000     		dr = 1328.5446299999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24888838--0.24850489) × cos(0.99596568) × R
    0.000383489999999986 × 0.54369266297948 × 6371000     		do = 1328.3579554059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24888838--0.24850489) × cos(0.99575715) × R
    0.000383489999999986 × 0.543867667131 × 6371000     		du = 1328.78552813721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99596568)-sin(0.99575715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.54369266297948-0.543867667131)×R²
    abs(-0.24850489--0.24888838)×0.000175004151520386×R²
    0.000383489999999986×0.000175004151520386×6371000²
    0.000383489999999986×0.000175004151520386×40589641000000     		ar = 1765066.85949661m²