Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7543 / 10515
↖ ↑ ↗
← S 45.383019°
W 14.260254°		 ← 1 716.03 m → S 45.383019°
W 14.238281°		 →
↑
1 715.84 m
↓
↑
1 715.84 m
↓
S 45.398450°
W 14.260254°		 ← 1 715.56 m →
2 944 021 m²		 S 45.398450°
W 14.238281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460418701171875 y=0.641815185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460418701171875 × 214)
    floor (0.460418701171875 × 16384)
    floor (7543.5)     		tx = 7543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641815185546875 × 214)
    floor (0.641815185546875 × 16384)
    floor (10515.5)     		ty = 10515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7543 / 10515 ti = "14/7543/10515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7543/10515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7543 ÷ 214
    7543 ÷ 16384     		x = 0.46038818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10515 ÷ 214
    10515 ÷ 16384     		y = 0.64178466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46038818359375 × 2 - 1) × π
    -0.0792236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24888838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64178466796875 × 2 - 1) × π
    -0.2835693359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.890859342539124
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24888838} λ = -0.24888838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.890859342539124))-π/2
    2×atan(0.41030301038004)-π/2
    2×0.389356607949165-π/2
    0.778713215898331-1.57079632675     		φ = -0.79208311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24888838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.260254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79208311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.383019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7543 KachelY 10515 -0.24888838 -0.79208311 -14.260254 -45.383019
    Oben rechts KachelX + 1 7544 KachelY 10515 -0.24850489 -0.79208311 -14.238281 -45.383019
    Unten links KachelX 7543 KachelY + 1 10516 -0.24888838 -0.79235243 -14.260254 -45.398450
    Unten rechts KachelX + 1 7544 KachelY + 1 10516 -0.24850489 -0.79235243 -14.238281 -45.398450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79208311--0.79235243) × R
    0.000269320000000017 × 6371000     		dl = 1715.83772000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79208311--0.79235243) × R
    0.000269320000000017 × 6371000     		dr = 1715.83772000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24888838--0.24850489) × cos(-0.79208311) × R
    0.000383489999999986 × 0.702364045603044 × 6371000     		do = 1716.02622418153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24888838--0.24850489) × cos(-0.79235243) × R
    0.000383489999999986 × 0.702172313331486 × 6371000     		du = 1715.55778105994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79208311)-sin(-0.79235243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702364045603044-0.702172313331486)×R²
    abs(-0.24850489--0.24888838)×0.000191732271557776×R²
    0.000383489999999986×0.000191732271557776×6371000²
    0.000383489999999986×0.000191732271557776×40589641000000     		ar = 2944020.65556649m²