Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7543 / 10328
↖ ↑ ↗
← S 42.423457°
W 14.260254°		 ← 1 803.53 m → S 42.423457°
W 14.238281°		 →
↑
1 803.31 m
↓
↑
1 803.31 m
↓
S 42.439674°
W 14.260254°		 ← 1 803.06 m →
3 251 906 m²		 S 42.439674°
W 14.238281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460418701171875 y=0.630401611328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460418701171875 × 214)
    floor (0.460418701171875 × 16384)
    floor (7543.5)     		tx = 7543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630401611328125 × 214)
    floor (0.630401611328125 × 16384)
    floor (10328.5)     		ty = 10328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7543 / 10328 ti = "14/7543/10328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7543/10328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7543 ÷ 214
    7543 ÷ 16384     		x = 0.46038818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10328 ÷ 214
    10328 ÷ 16384     		y = 0.63037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46038818359375 × 2 - 1) × π
    -0.0792236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24888838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63037109375 × 2 - 1) × π
    -0.2607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.81914574070752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24888838} λ = -0.24888838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81914574070752))-π/2
    2×atan(0.440808058089803)-π/2
    2×0.415183665248754-π/2
    0.830367330497507-1.57079632675     		φ = -0.74042900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24888838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.260254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74042900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.423457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7543 KachelY 10328 -0.24888838 -0.74042900 -14.260254 -42.423457
    Oben rechts KachelX + 1 7544 KachelY 10328 -0.24850489 -0.74042900 -14.238281 -42.423457
    Unten links KachelX 7543 KachelY + 1 10329 -0.24888838 -0.74071205 -14.260254 -42.439674
    Unten rechts KachelX + 1 7544 KachelY + 1 10329 -0.24850489 -0.74071205 -14.238281 -42.439674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74042900--0.74071205) × R
    0.000283049999999951 × 6371000     		dl = 1803.31154999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74042900--0.74071205) × R
    0.000283049999999951 × 6371000     		dr = 1803.31154999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24888838--0.24850489) × cos(-0.74042900) × R
    0.000383489999999986 × 0.738179221270127 × 6371000     		do = 1803.53039107779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24888838--0.24850489) × cos(-0.74071205) × R
    0.000383489999999986 × 0.7379882448553 × 6371000     		du = 1803.06379467655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74042900)-sin(-0.74071205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738179221270127-0.7379882448553)×R²
    abs(-0.24850489--0.24888838)×0.000190976414827349×R²
    0.000383489999999986×0.000190976414827349×6371000²
    0.000383489999999986×0.000190976414827349×40589641000000     		ar = 3251906.4973779m²