Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75428 / 54916
↖ ↑ ↗
← N 27.984700°
E 27.169189°		 ← 269.71 m → N 27.984700°
E 27.171936°		 →
↑
269.68 m
↓
↑
269.68 m
↓
N 27.982275°
E 27.169189°		 ← 269.72 m →
72 738 m²		 N 27.982275°
E 27.171936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575473785400391 y=0.418979644775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575473785400391 × 217)
    floor (0.575473785400391 × 131072)
    floor (75428.5)     		tx = 75428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418979644775391 × 217)
    floor (0.418979644775391 × 131072)
    floor (54916.5)     		ty = 54916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75428 / 54916 ti = "17/75428/54916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75428/54916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75428 ÷ 217
    75428 ÷ 131072     		x = 0.575469970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54916 ÷ 217
    54916 ÷ 131072     		y = 0.418975830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575469970703125 × 2 - 1) × π
    0.15093994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47419181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418975830078125 × 2 - 1) × π
    0.16204833984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.509089873964996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47419181} λ = 0.47419181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.509089873964996))-π/2
    2×atan(1.66377625956914)-π/2
    2×1.02961074201754-π/2
    2.05922148403509-1.57079632675     		φ = 0.48842516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47419181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.169189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48842516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.984700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75428 KachelY 54916 0.47419181 0.48842516 27.169189 27.984700
    Oben rechts KachelX + 1 75429 KachelY 54916 0.47423975 0.48842516 27.171936 27.984700
    Unten links KachelX 75428 KachelY + 1 54917 0.47419181 0.48838283 27.169189 27.982275
    Unten rechts KachelX + 1 75429 KachelY + 1 54917 0.47423975 0.48838283 27.171936 27.982275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48842516-0.48838283) × R
    4.23300000000348e-05 × 6371000     		dl = 269.684430000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48842516-0.48838283) × R
    4.23300000000348e-05 × 6371000     		dr = 269.684430000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47419181-0.47423975) × cos(0.48842516) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.883072924631577 × 6371000     		do = 269.713201479699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47419181-0.47423975) × cos(0.48838283) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.883092786590644 × 6371000     		du = 269.719267833245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48842516)-sin(0.48838283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883072924631577-0.883092786590644)×R²
    abs(0.47423975-0.47419181)×1.98619590676685e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.98619590676685e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.98619590676685e-05×40589641000000     		ar = 72738.2690159616m²