Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75425 / 54814
↖ ↑ ↗
← N 28.231810°
E 27.160950°		 ← 269.09 m → N 28.231810°
E 27.163696°		 →
↑
269.11 m
↓
↑
269.11 m
↓
N 28.229390°
E 27.160950°		 ← 269.10 m →
72 417 m²		 N 28.229390°
E 27.163696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575450897216797 y=0.418201446533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575450897216797 × 217)
    floor (0.575450897216797 × 131072)
    floor (75425.5)     		tx = 75425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418201446533203 × 217)
    floor (0.418201446533203 × 131072)
    floor (54814.5)     		ty = 54814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75425 / 54814 ti = "17/75425/54814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75425/54814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75425 ÷ 217
    75425 ÷ 131072     		x = 0.575447082519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54814 ÷ 217
    54814 ÷ 131072     		y = 0.418197631835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575447082519531 × 2 - 1) × π
    0.150894165039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.47404800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418197631835938 × 2 - 1) × π
    0.163604736328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.513979437726242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47404800} λ = 0.47404800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.513979437726242))-π/2
    2×atan(1.67193132077314)-π/2
    2×1.03176718124129-π/2
    2.06353436248257-1.57079632675     		φ = 0.49273804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47404800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.160950°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49273804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.231810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75425 KachelY 54814 0.47404800 0.49273804 27.160950 28.231810
    Oben rechts KachelX + 1 75426 KachelY 54814 0.47409594 0.49273804 27.163696 28.231810
    Unten links KachelX 75425 KachelY + 1 54815 0.47404800 0.49269580 27.160950 28.229390
    Unten rechts KachelX + 1 75426 KachelY + 1 54815 0.47409594 0.49269580 27.163696 28.229390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49273804-0.49269580) × R
    4.22399999999712e-05 × 6371000     		dl = 269.111039999816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49273804-0.49269580) × R
    4.22399999999712e-05 × 6371000     		dr = 269.111039999816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47404800-0.47409594) × cos(0.49273804) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.881040960351107 × 6371000     		do = 269.092587285371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47404800-0.47409594) × cos(0.49269580) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.881060940774028 × 6371000     		du = 269.098689820827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49273804)-sin(0.49269580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881040960351107-0.881060940774028)×R²
    abs(0.47409594-0.47404800)×1.99804229213951e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.99804229213951e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.99804229213951e-05×40589641000000     		ar = 72416.60716116m²