Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75424 / 55586
↖ ↑ ↗
← N 26.347575°
E 27.158203°		 ← 273.70 m → N 26.347575°
E 27.160950°		 →
↑
273.70 m
↓
↑
273.70 m
↓
N 26.345114°
E 27.158203°		 ← 273.70 m →
74 911 m²		 N 26.345114°
E 27.160950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575443267822266 y=0.424091339111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575443267822266 × 217)
    floor (0.575443267822266 × 131072)
    floor (75424.5)     		tx = 75424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424091339111328 × 217)
    floor (0.424091339111328 × 131072)
    floor (55586.5)     		ty = 55586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75424 / 55586 ti = "17/75424/55586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75424/55586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75424 ÷ 217
    75424 ÷ 131072     		x = 0.575439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55586 ÷ 217
    55586 ÷ 131072     		y = 0.424087524414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575439453125 × 2 - 1) × π
    0.15087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47400006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424087524414062 × 2 - 1) × π
    0.151824951171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.476972151219559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47400006} λ = 0.47400006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.476972151219559))-π/2
    2×atan(1.61118857379261)-π/2
    2×1.015324134051-π/2
    2.030648268102-1.57079632675     		φ = 0.45985194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47400006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.158203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45985194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.347575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75424 KachelY 55586 0.47400006 0.45985194 27.158203 26.347575
    Oben rechts KachelX + 1 75425 KachelY 55586 0.47404800 0.45985194 27.160950 26.347575
    Unten links KachelX 75424 KachelY + 1 55587 0.47400006 0.45980898 27.158203 26.345114
    Unten rechts KachelX + 1 75425 KachelY + 1 55587 0.47404800 0.45980898 27.160950 26.345114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45985194-0.45980898) × R
    4.29600000000363e-05 × 6371000     		dl = 273.698160000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45985194-0.45980898) × R
    4.29600000000363e-05 × 6371000     		dr = 273.698160000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47400006-0.47404800) × cos(0.45985194) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.896118218660477 × 6371000     		do = 273.697570061995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47400006-0.47404800) × cos(0.45980898) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.896137284144533 × 6371000     		du = 273.703393151572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45985194)-sin(0.45980898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896118218660477-0.896137284144533)×R²
    abs(0.47404800-0.47400006)×1.90654840565019e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90654840565019e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90654840565019e-05×40589641000000     		ar = 74911.3182185375m²