Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75424 / 54839
↖ ↑ ↗
← N 28.171297°
E 27.158203°		 ← 269.25 m → N 28.171297°
E 27.160950°		 →
↑
269.24 m
↓
↑
269.24 m
↓
N 28.168875°
E 27.158203°		 ← 269.25 m →
72 492 m²		 N 28.168875°
E 27.160950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575443267822266 y=0.418392181396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575443267822266 × 217)
    floor (0.575443267822266 × 131072)
    floor (75424.5)     		tx = 75424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418392181396484 × 217)
    floor (0.418392181396484 × 131072)
    floor (54839.5)     		ty = 54839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75424 / 54839 ti = "17/75424/54839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75424/54839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75424 ÷ 217
    75424 ÷ 131072     		x = 0.575439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54839 ÷ 217
    54839 ÷ 131072     		y = 0.418388366699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575439453125 × 2 - 1) × π
    0.15087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47400006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418388366699219 × 2 - 1) × π
    0.163223266601562 × 3.1415926535     		Φ = 0.512781015235741
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47400006} λ = 0.47400006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.512781015235741))-π/2
    2×atan(1.66992884082392)-π/2
    2×1.03123910201685-π/2
    2.06247820403371-1.57079632675     		φ = 0.49168188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47400006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.158203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49168188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.171297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75424 KachelY 54839 0.47400006 0.49168188 27.158203 28.171297
    Oben rechts KachelX + 1 75425 KachelY 54839 0.47404800 0.49168188 27.160950 28.171297
    Unten links KachelX 75424 KachelY + 1 54840 0.47400006 0.49163962 27.158203 28.168875
    Unten rechts KachelX + 1 75425 KachelY + 1 54840 0.47404800 0.49163962 27.160950 28.168875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49168188-0.49163962) × R
    4.22600000000162e-05 × 6371000     		dl = 269.238460000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49168188-0.49163962) × R
    4.22600000000162e-05 × 6371000     		dr = 269.238460000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47400006-0.47404800) × cos(0.49168188) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.881540074778341 × 6371000     		do = 269.245029678965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47400006-0.47404800) × cos(0.49163962) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.881560025325945 × 6371000     		du = 269.251123089731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49168188)-sin(0.49163962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881540074778341-0.881560025325945)×R²
    abs(0.47404800-0.47400006)×1.9950547604175e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.9950547604175e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.9950547604175e-05×40589641000000     		ar = 72491.9374545821m²