Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75422 / 55684
↖ ↑ ↗
← N 26.106121°
E 27.152710°		 ← 274.27 m → N 26.106121°
E 27.155457°		 →
↑
274.21 m
↓
↑
274.21 m
↓
N 26.103655°
E 27.152710°		 ← 274.27 m →
75 207 m²		 N 26.103655°
E 27.155457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575428009033203 y=0.424839019775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575428009033203 × 217)
    floor (0.575428009033203 × 131072)
    floor (75422.5)     		tx = 75422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424839019775391 × 217)
    floor (0.424839019775391 × 131072)
    floor (55684.5)     		ty = 55684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75422 / 55684 ti = "17/75422/55684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75422/55684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75422 ÷ 217
    75422 ÷ 131072     		x = 0.575424194335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55684 ÷ 217
    55684 ÷ 131072     		y = 0.424835205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575424194335938 × 2 - 1) × π
    0.150848388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47390419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424835205078125 × 2 - 1) × π
    0.15032958984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.472274335056793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47390419} λ = 0.47390419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.472274335056793))-π/2
    2×atan(1.6036372573055)-π/2
    2×1.01321704511543-π/2
    2.02643409023086-1.57079632675     		φ = 0.45563776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47390419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.152710°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45563776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.106121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75422 KachelY 55684 0.47390419 0.45563776 27.152710 26.106121
    Oben rechts KachelX + 1 75423 KachelY 55684 0.47395213 0.45563776 27.155457 26.106121
    Unten links KachelX 75422 KachelY + 1 55685 0.47390419 0.45559472 27.152710 26.103655
    Unten rechts KachelX + 1 75423 KachelY + 1 55685 0.47395213 0.45559472 27.155457 26.103655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45563776-0.45559472) × R
    4.30399999999942e-05 × 6371000     		dl = 274.207839999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45563776-0.45559472) × R
    4.30399999999942e-05 × 6371000     		dr = 274.207839999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47390419-0.47395213) × cos(0.45563776) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.897980574033949 × 6371000     		do = 274.266381330081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47390419-0.47395213) × cos(0.45559472) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.897999512312891 × 6371000     		du = 274.272165567941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45563776)-sin(0.45559472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897980574033949-0.897999512312891)×R²
    abs(0.47395213-0.47390419)×1.8938278941838e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.8938278941838e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.8938278941838e-05×40589641000000     		ar = 75206.7850624296m²