Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75421 / 54818
↖ ↑ ↗
← N 28.222130°
E 27.149963°		 ← 269.12 m → N 28.222130°
E 27.152710°		 →
↑
269.11 m
↓
↑
269.11 m
↓
N 28.219710°
E 27.149963°		 ← 269.12 m →
72 423 m²		 N 28.219710°
E 27.152710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575420379638672 y=0.418231964111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575420379638672 × 217)
    floor (0.575420379638672 × 131072)
    floor (75421.5)     		tx = 75421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418231964111328 × 217)
    floor (0.418231964111328 × 131072)
    floor (54818.5)     		ty = 54818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75421 / 54818 ti = "17/75421/54818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75421/54818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75421 ÷ 217
    75421 ÷ 131072     		x = 0.575416564941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54818 ÷ 217
    54818 ÷ 131072     		y = 0.418228149414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575416564941406 × 2 - 1) × π
    0.150833129882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.47385625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418228149414062 × 2 - 1) × π
    0.163543701171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.513787690127762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47385625} λ = 0.47385625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.513787690127762))-π/2
    2×atan(1.67161076269166)-π/2
    2×1.03168270866638-π/2
    2.06336541733276-1.57079632675     		φ = 0.49256909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47385625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.149963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49256909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.222130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75421 KachelY 54818 0.47385625 0.49256909 27.149963 28.222130
    Oben rechts KachelX + 1 75422 KachelY 54818 0.47390419 0.49256909 27.152710 28.222130
    Unten links KachelX 75421 KachelY + 1 54819 0.47385625 0.49252685 27.149963 28.219710
    Unten rechts KachelX + 1 75422 KachelY + 1 54819 0.47390419 0.49252685 27.152710 28.219710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49256909-0.49252685) × R
    4.22399999999712e-05 × 6371000     		dl = 269.111039999816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49256909-0.49252685) × R
    4.22399999999712e-05 × 6371000     		dr = 269.111039999816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47385625-0.47390419) × cos(0.49256909) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.881120867881712 × 6371000     		do = 269.116993102349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47385625-0.47390419) × cos(0.49252685) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.881140842016774 × 6371000     		du = 269.123093717331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49256909)-sin(0.49252685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881120867881712-0.881140842016774)×R²
    abs(0.47390419-0.47385625)×1.99741350619398e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.99741350619398e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.99741350619398e-05×40589641000000     		ar = 72423.1747775853m²