Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75420 / 56840
↖ ↑ ↗
← N 23.221155°
E 27.147217°		 ← 280.62 m → N 23.221155°
E 27.149963°		 →
↑
280.64 m
↓
↑
280.64 m
↓
N 23.218631°
E 27.147217°		 ← 280.63 m →
78 756 m²		 N 23.218631°
E 27.149963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575412750244141 y=0.433658599853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575412750244141 × 217)
    floor (0.575412750244141 × 131072)
    floor (75420.5)     		tx = 75420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433658599853516 × 217)
    floor (0.433658599853516 × 131072)
    floor (56840.5)     		ty = 56840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75420 / 56840 ti = "17/75420/56840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75420/56840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75420 ÷ 217
    75420 ÷ 131072     		x = 0.575408935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56840 ÷ 217
    56840 ÷ 131072     		y = 0.43365478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575408935546875 × 2 - 1) × π
    0.15081787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47380832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43365478515625 × 2 - 1) × π
    0.1326904296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.416859279096008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47380832} λ = 0.47380832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.416859279096008))-π/2
    2×atan(1.51718899770513)-π/2
    2×0.988040968666527-π/2
    1.97608193733305-1.57079632675     		φ = 0.40528561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47380832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.147217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40528561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.221155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75420 KachelY 56840 0.47380832 0.40528561 27.147217 23.221155
    Oben rechts KachelX + 1 75421 KachelY 56840 0.47385625 0.40528561 27.149963 23.221155
    Unten links KachelX 75420 KachelY + 1 56841 0.47380832 0.40524156 27.147217 23.218631
    Unten rechts KachelX + 1 75421 KachelY + 1 56841 0.47385625 0.40524156 27.149963 23.218631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40528561-0.40524156) × R
    4.40500000000177e-05 × 6371000     		dl = 280.642550000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40528561-0.40524156) × R
    4.40500000000177e-05 × 6371000     		dr = 280.642550000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47380832-0.47385625) × cos(0.40528561) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.918989823982152 × 6371000     		do = 280.62459820038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47380832-0.47385625) × cos(0.40524156) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.919007191179566 × 6371000     		du = 280.629901483037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40528561)-sin(0.40524156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918989823982152-0.919007191179566)×R²
    abs(0.47385625-0.47380832)×1.73671974135203e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.73671974135203e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.73671974135203e-05×40589641000000     		ar = 78755.9470077844m²