Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75420 / 54863
↖ ↑ ↗
← N 28.113171°
E 27.147217°		 ← 269.33 m → N 28.113171°
E 27.149963°		 →
↑
269.37 m
↓
↑
269.37 m
↓
N 28.110749°
E 27.147217°		 ← 269.34 m →
72 550 m²		 N 28.110749°
E 27.149963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575412750244141 y=0.418575286865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575412750244141 × 217)
    floor (0.575412750244141 × 131072)
    floor (75420.5)     		tx = 75420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418575286865234 × 217)
    floor (0.418575286865234 × 131072)
    floor (54863.5)     		ty = 54863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75420 / 54863 ti = "17/75420/54863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75420/54863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75420 ÷ 217
    75420 ÷ 131072     		x = 0.575408935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54863 ÷ 217
    54863 ÷ 131072     		y = 0.418571472167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575408935546875 × 2 - 1) × π
    0.15081787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47380832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418571472167969 × 2 - 1) × π
    0.162857055664062 × 3.1415926535     		Φ = 0.511630529644859
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47380832} λ = 0.47380832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.511630529644859))-π/2
    2×atan(1.66800871650423)-π/2
    2×1.03073186478446-π/2
    2.06146372956892-1.57079632675     		φ = 0.49066740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47380832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.147217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49066740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.113171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75420 KachelY 54863 0.47380832 0.49066740 27.147217 28.113171
    Oben rechts KachelX + 1 75421 KachelY 54863 0.47385625 0.49066740 27.149963 28.113171
    Unten links KachelX 75420 KachelY + 1 54864 0.47380832 0.49062512 27.147217 28.110749
    Unten rechts KachelX + 1 75421 KachelY + 1 54864 0.47385625 0.49062512 27.149963 28.110749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49066740-0.49062512) × R
    4.22799999999501e-05 × 6371000     		dl = 269.365879999682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49066740-0.49062512) × R
    4.22799999999501e-05 × 6371000     		dr = 269.365879999682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47380832-0.47385625) × cos(0.49066740) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.882018566410112 × 6371000     		do = 269.334979936535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47380832-0.47385625) × cos(0.49062512) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.882038488577257 × 6371000     		du = 269.341063409936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49066740)-sin(0.49062512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882018566410112-0.882038488577257)×R²
    abs(0.47385625-0.47380832)×1.99221671443039e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.99221671443039e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.99221671443039e-05×40589641000000     		ar = 72550.4732362049m²