Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7542 / 3417
↖ ↑ ↗
← N 71.794547°
W 14.282227°		 ← 763.34 m → N 71.794547°
W 14.260254°		 →
↑
763.50 m
↓
↑
763.50 m
↓
N 71.787681°
W 14.282227°		 ← 763.62 m →
582 918 m²		 N 71.787681°
W 14.260254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460357666015625 y=0.208587646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460357666015625 × 214)
    floor (0.460357666015625 × 16384)
    floor (7542.5)     		tx = 7542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208587646484375 × 214)
    floor (0.208587646484375 × 16384)
    floor (3417.5)     		ty = 3417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7542 / 3417 ti = "14/7542/3417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7542/3417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7542 ÷ 214
    7542 ÷ 16384     		x = 0.4603271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3417 ÷ 214
    3417 ÷ 16384     		y = 0.20855712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4603271484375 × 2 - 1) × π
    -0.079345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24927188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20855712890625 × 2 - 1) × π
    0.5828857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.83118956548614
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24927188} λ = -0.24927188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83118956548614))-π/2
    2×atan(6.24130668736836)-π/2
    2×1.41192377615989-π/2
    2.82384755231977-1.57079632675     		φ = 1.25305123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24927188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.282227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25305123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.794547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7542 KachelY 3417 -0.24927188 1.25305123 -14.282227 71.794547
    Oben rechts KachelX + 1 7543 KachelY 3417 -0.24888838 1.25305123 -14.260254 71.794547
    Unten links KachelX 7542 KachelY + 1 3418 -0.24927188 1.25293139 -14.282227 71.787681
    Unten rechts KachelX + 1 7543 KachelY + 1 3418 -0.24888838 1.25293139 -14.260254 71.787681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25305123-1.25293139) × R
    0.000119839999999982 × 6371000     		dl = 763.500639999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25305123-1.25293139) × R
    0.000119839999999982 × 6371000     		dr = 763.500639999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24927188--0.24888838) × cos(1.25305123) × R
    0.000383500000000009 × 0.312425328722943 × 6371000     		do = 763.342088524216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24927188--0.24888838) × cos(1.25293139) × R
    0.000383500000000009 × 0.312539167566998 × 6371000     		du = 763.620228524361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25305123)-sin(1.25293139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312425328722943-0.312539167566998)×R²
    abs(-0.24888838--0.24927188)×0.000113838844055358×R²
    0.000383500000000009×0.000113838844055358×6371000²
    0.000383500000000009×0.000113838844055358×40589641000000     		ar = 582918.353859904m²