Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75419 / 54864
↖ ↑ ↗
← N 28.110749°
E 27.144470°		 ← 269.40 m → N 28.110749°
E 27.147217°		 →
↑
269.37 m
↓
↑
269.37 m
↓
N 28.108326°
E 27.144470°		 ← 269.40 m →
72 567 m²		 N 28.108326°
E 27.147217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575405120849609 y=0.418582916259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575405120849609 × 217)
    floor (0.575405120849609 × 131072)
    floor (75419.5)     		tx = 75419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418582916259766 × 217)
    floor (0.418582916259766 × 131072)
    floor (54864.5)     		ty = 54864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75419 / 54864 ti = "17/75419/54864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75419/54864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75419 ÷ 217
    75419 ÷ 131072     		x = 0.575401306152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54864 ÷ 217
    54864 ÷ 131072     		y = 0.4185791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575401306152344 × 2 - 1) × π
    0.150802612304688 × 3.1415926535     		Λ = 0.47376038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4185791015625 × 2 - 1) × π
    0.162841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.511582592745239
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47376038} λ = 0.47376038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.511582592745239))-π/2
    2×atan(1.66792875925428)-π/2
    2×1.03071072392799-π/2
    2.06142144785597-1.57079632675     		φ = 0.49062512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47376038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.144470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49062512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.110749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75419 KachelY 54864 0.47376038 0.49062512 27.144470 28.110749
    Oben rechts KachelX + 1 75420 KachelY 54864 0.47380832 0.49062512 27.147217 28.110749
    Unten links KachelX 75419 KachelY + 1 54865 0.47376038 0.49058284 27.144470 28.108326
    Unten rechts KachelX + 1 75420 KachelY + 1 54865 0.47380832 0.49058284 27.147217 28.108326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49062512-0.49058284) × R
    4.22800000000056e-05 × 6371000     		dl = 269.365880000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49062512-0.49058284) × R
    4.22800000000056e-05 × 6371000     		dr = 269.365880000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47376038-0.47380832) × cos(0.49062512) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.882038488577257 × 6371000     		do = 269.397258082325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47376038-0.47380832) × cos(0.49058284) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.88205840916767 × 6371000     		du = 269.403342343394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49062512)-sin(0.49058284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882038488577257-0.88205840916767)×R²
    abs(0.47380832-0.47376038)×1.9920590413669e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.9920590413669e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.9920590413669e-05×40589641000000     		ar = 72567.2489499868m²