Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75414 / 55638
↖ ↑ ↗
← N 26.219519°
E 27.130737°		 ← 274 m → N 26.219519°
E 27.133484°		 →
↑
274.02 m
↓
↑
274.02 m
↓
N 26.217055°
E 27.130737°		 ← 274.01 m →
75 081 m²		 N 26.217055°
E 27.133484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575366973876953 y=0.424488067626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575366973876953 × 217)
    floor (0.575366973876953 × 131072)
    floor (75414.5)     		tx = 75414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424488067626953 × 217)
    floor (0.424488067626953 × 131072)
    floor (55638.5)     		ty = 55638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75414 / 55638 ti = "17/75414/55638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75414/55638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75414 ÷ 217
    75414 ÷ 131072     		x = 0.575363159179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55638 ÷ 217
    55638 ÷ 131072     		y = 0.424484252929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575363159179688 × 2 - 1) × π
    0.150726318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47352069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424484252929688 × 2 - 1) × π
    0.151031494140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.474479432439316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47352069} λ = 0.47352069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.474479432439316))-π/2
    2×atan(1.607177335298)-π/2
    2×1.01420663158837-π/2
    2.02841326317675-1.57079632675     		φ = 0.45761694
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47352069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.130737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45761694 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.219519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75414 KachelY 55638 0.47352069 0.45761694 27.130737 26.219519
    Oben rechts KachelX + 1 75415 KachelY 55638 0.47356863 0.45761694 27.133484 26.219519
    Unten links KachelX 75414 KachelY + 1 55639 0.47352069 0.45757393 27.130737 26.217055
    Unten rechts KachelX + 1 75415 KachelY + 1 55639 0.47356863 0.45757393 27.133484 26.217055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45761694-0.45757393) × R
    4.301000000001e-05 × 6371000     		dl = 274.016710000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45761694-0.45757393) × R
    4.301000000001e-05 × 6371000     		dr = 274.016710000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47352069-0.47356863) × cos(0.45761694) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.897107907171315 × 6371000     		do = 273.999846407471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47352069-0.47356863) × cos(0.45757393) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.897126908654228 × 6371000     		du = 274.00564994945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45761694)-sin(0.45757393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897107907171315-0.897126908654228)×R²
    abs(0.47356863-0.47352069)×1.90014829132279e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90014829132279e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90014829132279e-05×40589641000000     		ar = 75081.3315983642m²