Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75412 / 55700
↖ ↑ ↗
← N 26.066652°
E 27.125244°		 ← 274.36 m → N 26.066652°
E 27.127991°		 →
↑
274.34 m
↓
↑
274.34 m
↓
N 26.064185°
E 27.125244°		 ← 274.36 m →
75 267 m²		 N 26.064185°
E 27.127991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575351715087891 y=0.424961090087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575351715087891 × 217)
    floor (0.575351715087891 × 131072)
    floor (75412.5)     		tx = 75412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424961090087891 × 217)
    floor (0.424961090087891 × 131072)
    floor (55700.5)     		ty = 55700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75412 / 55700 ti = "17/75412/55700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75412/55700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75412 ÷ 217
    75412 ÷ 131072     		x = 0.575347900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55700 ÷ 217
    55700 ÷ 131072     		y = 0.424957275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575347900390625 × 2 - 1) × π
    0.15069580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.47342482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424957275390625 × 2 - 1) × π
    0.15008544921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.471507344662872
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47342482} λ = 0.47342482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.471507344662872))-π/2
    2×atan(1.60240775450251)-π/2
    2×1.01287261578649-π/2
    2.02574523157299-1.57079632675     		φ = 0.45494890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47342482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.125244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45494890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.066652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75412 KachelY 55700 0.47342482 0.45494890 27.125244 26.066652
    Oben rechts KachelX + 1 75413 KachelY 55700 0.47347276 0.45494890 27.127991 26.066652
    Unten links KachelX 75412 KachelY + 1 55701 0.47342482 0.45490584 27.125244 26.064185
    Unten rechts KachelX + 1 75413 KachelY + 1 55701 0.47347276 0.45490584 27.127991 26.064185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45494890-0.45490584) × R
    4.30599999999837e-05 × 6371000     		dl = 274.335259999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45494890-0.45490584) × R
    4.30599999999837e-05 × 6371000     		dr = 274.335259999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47342482-0.47347276) × cos(0.45494890) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.898283483530013 × 6371000     		do = 274.358897686752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47342482-0.47347276) × cos(0.45490584) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.898302403967929 × 6371000     		du = 274.364676475504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45494890)-sin(0.45490584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898283483530013-0.898302403967929)×R²
    abs(0.47347276-0.47342482)×1.89204379166252e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.89204379166252e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.89204379166252e-05×40589641000000     		ar = 75267.1122045397m²