Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75410 / 54837
↖ ↑ ↗
← N 28.176139°
E 27.119751°		 ← 269.18 m → N 28.176139°
E 27.122497°		 →
↑
269.17 m
↓
↑
269.17 m
↓
N 28.173718°
E 27.119751°		 ← 269.18 m →
72 456 m²		 N 28.173718°
E 27.122497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575336456298828 y=0.418376922607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575336456298828 × 217)
    floor (0.575336456298828 × 131072)
    floor (75410.5)     		tx = 75410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418376922607422 × 217)
    floor (0.418376922607422 × 131072)
    floor (54837.5)     		ty = 54837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75410 / 54837 ti = "17/75410/54837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75410/54837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75410 ÷ 217
    75410 ÷ 131072     		x = 0.575332641601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54837 ÷ 217
    54837 ÷ 131072     		y = 0.418373107910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575332641601562 × 2 - 1) × π
    0.150665283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.47332895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418373107910156 × 2 - 1) × π
    0.163253784179688 × 3.1415926535     		Φ = 0.512876889034981
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47332895} λ = 0.47332895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.512876889034981))-π/2
    2×atan(1.67008895092141)-π/2
    2×1.03128135935859-π/2
    2.06256271871718-1.57079632675     		φ = 0.49176639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47332895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.119751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49176639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.176139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75410 KachelY 54837 0.47332895 0.49176639 27.119751 28.176139
    Oben rechts KachelX + 1 75411 KachelY 54837 0.47337688 0.49176639 27.122497 28.176139
    Unten links KachelX 75410 KachelY + 1 54838 0.47332895 0.49172414 27.119751 28.173718
    Unten rechts KachelX + 1 75411 KachelY + 1 54838 0.47337688 0.49172414 27.122497 28.173718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49176639-0.49172414) × R
    4.22500000000214e-05 × 6371000     		dl = 269.174750000137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49176639-0.49172414) × R
    4.22500000000214e-05 × 6371000     		dr = 269.174750000137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47332895-0.47337688) × cos(0.49176639) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.881500173681958 × 6371000     		do = 269.176682480728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47332895-0.47337688) × cos(0.49172414) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.881520122656388 × 6371000     		du = 269.182774140057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49176639)-sin(0.49172414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881500173681958-0.881520122656388)×R²
    abs(0.47337688-0.47332895)×1.99489744296955e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.99489744296955e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.99489744296955e-05×40589641000000     		ar = 72456.3860837912m²