Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7541 / 4994
↖ ↑ ↗
← N 57.302790°
W 14.304199°		 ← 1 319.82 m → N 57.302790°
W 14.282227°		 →
↑
1 320.07 m
↓
↑
1 320.07 m
↓
N 57.290918°
W 14.304199°		 ← 1 320.25 m →
1 742 542 m²		 N 57.290918°
W 14.282227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460296630859375 y=0.304840087890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460296630859375 × 214)
    floor (0.460296630859375 × 16384)
    floor (7541.5)     		tx = 7541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.304840087890625 × 214)
    floor (0.304840087890625 × 16384)
    floor (4994.5)     		ty = 4994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7541 / 4994 ti = "14/7541/4994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7541/4994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7541 ÷ 214
    7541 ÷ 16384     		x = 0.46026611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4994 ÷ 214
    4994 ÷ 16384     		y = 0.3048095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46026611328125 × 2 - 1) × π
    -0.0794677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24965537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3048095703125 × 2 - 1) × π
    0.390380859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.22641763987952
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24965537} λ = -0.24965537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22641763987952))-π/2
    2×atan(3.40899538668439)-π/2
    2×1.28545933842851-π/2
    2.57091867685702-1.57079632675     		φ = 1.00012235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24965537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.304199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00012235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.302790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7541 KachelY 4994 -0.24965537 1.00012235 -14.304199 57.302790
    Oben rechts KachelX + 1 7542 KachelY 4994 -0.24927188 1.00012235 -14.282227 57.302790
    Unten links KachelX 7541 KachelY + 1 4995 -0.24965537 0.99991515 -14.304199 57.290918
    Unten rechts KachelX + 1 7542 KachelY + 1 4995 -0.24927188 0.99991515 -14.282227 57.290918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00012235-0.99991515) × R
    0.000207200000000074 × 6371000     		dl = 1320.07120000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00012235-0.99991515) × R
    0.000207200000000074 × 6371000     		dr = 1320.07120000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24965537--0.24927188) × cos(1.00012235) × R
    0.000383489999999986 × 0.540199347849372 × 6371000     		do = 1319.82303621389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24965537--0.24927188) × cos(0.99991515) × R
    0.000383489999999986 × 0.540373702736156 × 6371000     		du = 1320.24902265199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00012235)-sin(0.99991515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540199347849372-0.540373702736156)×R²
    abs(-0.24927188--0.24965537)×0.000174354886784189×R²
    0.000383489999999986×0.000174354886784189×6371000²
    0.000383489999999986×0.000174354886784189×40589641000000     		ar = 1742541.5516501m²