Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7541 / 3417
↖ ↑ ↗
← N 71.794547°
W 14.304199°		 ← 763.32 m → N 71.794547°
W 14.282227°		 →
↑
763.50 m
↓
↑
763.50 m
↓
N 71.787681°
W 14.304199°		 ← 763.60 m →
582 903 m²		 N 71.787681°
W 14.282227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460296630859375 y=0.208587646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460296630859375 × 214)
    floor (0.460296630859375 × 16384)
    floor (7541.5)     		tx = 7541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208587646484375 × 214)
    floor (0.208587646484375 × 16384)
    floor (3417.5)     		ty = 3417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7541 / 3417 ti = "14/7541/3417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7541/3417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7541 ÷ 214
    7541 ÷ 16384     		x = 0.46026611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3417 ÷ 214
    3417 ÷ 16384     		y = 0.20855712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46026611328125 × 2 - 1) × π
    -0.0794677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.24965537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20855712890625 × 2 - 1) × π
    0.5828857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.83118956548614
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24965537} λ = -0.24965537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83118956548614))-π/2
    2×atan(6.24130668736836)-π/2
    2×1.41192377615989-π/2
    2.82384755231977-1.57079632675     		φ = 1.25305123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24965537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.304199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25305123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.794547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7541 KachelY 3417 -0.24965537 1.25305123 -14.304199 71.794547
    Oben rechts KachelX + 1 7542 KachelY 3417 -0.24927188 1.25305123 -14.282227 71.794547
    Unten links KachelX 7541 KachelY + 1 3418 -0.24965537 1.25293139 -14.304199 71.787681
    Unten rechts KachelX + 1 7542 KachelY + 1 3418 -0.24927188 1.25293139 -14.282227 71.787681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25305123-1.25293139) × R
    0.000119839999999982 × 6371000     		dl = 763.500639999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25305123-1.25293139) × R
    0.000119839999999982 × 6371000     		dr = 763.500639999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24965537--0.24927188) × cos(1.25305123) × R
    0.000383489999999986 × 0.312425328722943 × 6371000     		do = 763.322183906478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24965537--0.24927188) × cos(1.25293139) × R
    0.000383489999999986 × 0.312539167566998 × 6371000     		du = 763.600316653951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25305123)-sin(1.25293139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312425328722943-0.312539167566998)×R²
    abs(-0.24927188--0.24965537)×0.000113838844055358×R²
    0.000383489999999986×0.000113838844055358×6371000²
    0.000383489999999986×0.000113838844055358×40589641000000     		ar = 582903.153902793m²