Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75409 / 54833
↖ ↑ ↗
← N 28.185823°
E 27.117004°		 ← 269.21 m → N 28.185823°
E 27.119751°		 →
↑
269.17 m
↓
↑
269.17 m
↓
N 28.183402°
E 27.117004°		 ← 269.21 m →
72 465 m²		 N 28.183402°
E 27.119751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575328826904297 y=0.418346405029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575328826904297 × 217)
    floor (0.575328826904297 × 131072)
    floor (75409.5)     		tx = 75409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418346405029297 × 217)
    floor (0.418346405029297 × 131072)
    floor (54833.5)     		ty = 54833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75409 / 54833 ti = "17/75409/54833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75409/54833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75409 ÷ 217
    75409 ÷ 131072     		x = 0.575325012207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54833 ÷ 217
    54833 ÷ 131072     		y = 0.418342590332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575325012207031 × 2 - 1) × π
    0.150650024414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.47328101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418342590332031 × 2 - 1) × π
    0.163314819335938 × 3.1415926535     		Φ = 0.513068636633461
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47328101} λ = 0.47328101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.513068636633461))-π/2
    2×atan(1.67040921717116)-π/2
    2×1.031365868303-π/2
    2.062731736606-1.57079632675     		φ = 0.49193541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47328101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.117004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49193541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.185823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75409 KachelY 54833 0.47328101 0.49193541 27.117004 28.185823
    Oben rechts KachelX + 1 75410 KachelY 54833 0.47332895 0.49193541 27.119751 28.185823
    Unten links KachelX 75409 KachelY + 1 54834 0.47328101 0.49189316 27.117004 28.183402
    Unten rechts KachelX + 1 75410 KachelY + 1 54834 0.47332895 0.49189316 27.119751 28.183402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49193541-0.49189316) × R
    4.22500000000214e-05 × 6371000     		dl = 269.174750000137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49193541-0.49189316) × R
    4.22500000000214e-05 × 6371000     		dr = 269.174750000137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47328101-0.47332895) × cos(0.49193541) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.881420352602613 × 6371000     		do = 269.208463444849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47328101-0.47332895) × cos(0.49189316) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.881440307871706 × 6371000     		du = 269.214558297679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49193541)-sin(0.49189316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881420352602613-0.881440307871706)×R²
    abs(0.47332895-0.47328101)×1.99552690923754e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.99552690923754e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.99552690923754e-05×40589641000000     		ar = 72464.9411467244m²