Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75407 / 54835
↖ ↑ ↗
← N 28.180981°
E 27.111511°		 ← 269.16 m → N 28.180981°
E 27.114258°		 →
↑
269.17 m
↓
↑
269.17 m
↓
N 28.178560°
E 27.111511°		 ← 269.17 m →
72 453 m²		 N 28.178560°
E 27.114258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575313568115234 y=0.418361663818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575313568115234 × 217)
    floor (0.575313568115234 × 131072)
    floor (75407.5)     		tx = 75407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418361663818359 × 217)
    floor (0.418361663818359 × 131072)
    floor (54835.5)     		ty = 54835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75407 / 54835 ti = "17/75407/54835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75407/54835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75407 ÷ 217
    75407 ÷ 131072     		x = 0.575309753417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54835 ÷ 217
    54835 ÷ 131072     		y = 0.418357849121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575309753417969 × 2 - 1) × π
    0.150619506835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.47318514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418357849121094 × 2 - 1) × π
    0.163284301757812 × 3.1415926535     		Φ = 0.512972762834221
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47318514} λ = 0.47318514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.512972762834221))-π/2
    2×atan(1.67024907637)-π/2
    2×1.03132361478738-π/2
    2.06264722957475-1.57079632675     		φ = 0.49185090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47318514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.111511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49185090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.180981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75407 KachelY 54835 0.47318514 0.49185090 27.111511 28.180981
    Oben rechts KachelX + 1 75408 KachelY 54835 0.47323307 0.49185090 27.114258 28.180981
    Unten links KachelX 75407 KachelY + 1 54836 0.47318514 0.49180865 27.111511 28.178560
    Unten rechts KachelX + 1 75408 KachelY + 1 54836 0.47323307 0.49180865 27.114258 28.178560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49185090-0.49180865) × R
    4.22499999999659e-05 × 6371000     		dl = 269.174749999783m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49185090-0.49180865) × R
    4.22499999999659e-05 × 6371000     		dr = 269.174749999783m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47318514-0.47323307) × cos(0.49185090) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.881460266289954 × 6371000     		do = 269.164496278494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47318514-0.47323307) × cos(0.49180865) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.881480218411786 × 6371000     		du = 269.170588898919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49185090)-sin(0.49180865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881460266289954-0.881480218411786)×R²
    abs(0.47323307-0.47318514)×1.99521218322563e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.99521218322563e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.99521218322563e-05×40589641000000     		ar = 72453.1059952035m²