Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75405 / 56857
↖ ↑ ↗
← N 23.178239°
E 27.106018°		 ← 280.77 m → N 23.178239°
E 27.108765°		 →
↑
280.77 m
↓
↑
280.77 m
↓
N 23.175714°
E 27.106018°		 ← 280.78 m →
78 833 m²		 N 23.175714°
E 27.108765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575298309326172 y=0.433788299560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575298309326172 × 217)
    floor (0.575298309326172 × 131072)
    floor (75405.5)     		tx = 75405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433788299560547 × 217)
    floor (0.433788299560547 × 131072)
    floor (56857.5)     		ty = 56857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75405 / 56857 ti = "17/75405/56857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75405/56857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75405 ÷ 217
    75405 ÷ 131072     		x = 0.575294494628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56857 ÷ 217
    56857 ÷ 131072     		y = 0.433784484863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575294494628906 × 2 - 1) × π
    0.150588989257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.47308926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433784484863281 × 2 - 1) × π
    0.132431030273438 × 3.1415926535     		Φ = 0.416044351802467
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47308926} λ = 0.47308926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.416044351802467))-π/2
    2×atan(1.51595310263215)-π/2
    2×0.987666453592-π/2
    1.975332907184-1.57079632675     		φ = 0.40453658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47308926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.106018°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40453658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.178239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75405 KachelY 56857 0.47308926 0.40453658 27.106018 23.178239
    Oben rechts KachelX + 1 75406 KachelY 56857 0.47313720 0.40453658 27.108765 23.178239
    Unten links KachelX 75405 KachelY + 1 56858 0.47308926 0.40449251 27.106018 23.175714
    Unten rechts KachelX + 1 75406 KachelY + 1 56858 0.47313720 0.40449251 27.108765 23.175714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40453658-0.40449251) × R
    4.40699999999516e-05 × 6371000     		dl = 280.769969999692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40453658-0.40449251) × R
    4.40699999999516e-05 × 6371000     		dr = 280.769969999692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47308926-0.47313720) × cos(0.40453658) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.919284894640831 × 6371000     		do = 280.773269216314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47308926-0.47313720) × cos(0.40449251) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.919302239382276 × 6371000     		du = 280.778566746805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40453658)-sin(0.40449251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919284894640831-0.919302239382276)×R²
    abs(0.47313720-0.47308926)×1.73447414443251e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73447414443251e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73447414443251e-05×40589641000000     		ar = 78833.446081064m²