Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75404 / 55639
↖ ↑ ↗
← N 26.217055°
E 27.103272°		 ← 273.95 m → N 26.217055°
E 27.106018°		 →
↑
273.95 m
↓
↑
273.95 m
↓
N 26.214591°
E 27.103272°		 ← 273.95 m →
75 050 m²		 N 26.214591°
E 27.106018°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575290679931641 y=0.424495697021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575290679931641 × 217)
    floor (0.575290679931641 × 131072)
    floor (75404.5)     		tx = 75404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424495697021484 × 217)
    floor (0.424495697021484 × 131072)
    floor (55639.5)     		ty = 55639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75404 / 55639 ti = "17/75404/55639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75404/55639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75404 ÷ 217
    75404 ÷ 131072     		x = 0.575286865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55639 ÷ 217
    55639 ÷ 131072     		y = 0.424491882324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575286865234375 × 2 - 1) × π
    0.15057373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47304133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424491882324219 × 2 - 1) × π
    0.151016235351562 × 3.1415926535     		Φ = 0.474431495539696
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47304133} λ = 0.47304133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.474431495539696))-π/2
    2×atan(1.60710029404598)-π/2
    2×1.0141851290748-π/2
    2.02837025814959-1.57079632675     		φ = 0.45757393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47304133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.103272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45757393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.217055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75404 KachelY 55639 0.47304133 0.45757393 27.103272 26.217055
    Oben rechts KachelX + 1 75405 KachelY 55639 0.47308926 0.45757393 27.106018 26.217055
    Unten links KachelX 75404 KachelY + 1 55640 0.47304133 0.45753093 27.103272 26.214591
    Unten rechts KachelX + 1 75405 KachelY + 1 55640 0.47308926 0.45753093 27.106018 26.214591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45757393-0.45753093) × R
    4.30000000000152e-05 × 6371000     		dl = 273.953000000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45757393-0.45753093) × R
    4.30000000000152e-05 × 6371000     		dr = 273.953000000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47304133-0.47308926) × cos(0.45757393) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.897126908654228 × 6371000     		do = 273.948493994447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47304133-0.47308926) × cos(0.45753093) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.897145904060239 × 6371000     		du = 273.954294470188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45757393)-sin(0.45753093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897126908654228-0.897145904060239)×R²
    abs(0.47308926-0.47304133)×1.89954060105801e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.89954060105801e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.89954060105801e-05×40589641000000     		ar = 75049.8063157029m²