Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75402 / 55630
↖ ↑ ↗
← N 26.239229°
E 27.097778°		 ← 273.95 m → N 26.239229°
E 27.100525°		 →
↑
273.89 m
↓
↑
273.89 m
↓
N 26.236766°
E 27.097778°		 ← 273.96 m →
75 034 m²		 N 26.236766°
E 27.100525°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575275421142578 y=0.424427032470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575275421142578 × 217)
    floor (0.575275421142578 × 131072)
    floor (75402.5)     		tx = 75402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424427032470703 × 217)
    floor (0.424427032470703 × 131072)
    floor (55630.5)     		ty = 55630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75402 / 55630 ti = "17/75402/55630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75402/55630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75402 ÷ 217
    75402 ÷ 131072     		x = 0.575271606445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55630 ÷ 217
    55630 ÷ 131072     		y = 0.424423217773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575271606445312 × 2 - 1) × π
    0.150543212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47294545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424423217773438 × 2 - 1) × π
    0.151153564453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.474862927636276
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47294545} λ = 0.47294545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.474862927636276))-π/2
    2×atan(1.6077937982845)-π/2
    2×1.01437863530014-π/2
    2.02875727060028-1.57079632675     		φ = 0.45796094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47294545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.097778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45796094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.239229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75402 KachelY 55630 0.47294545 0.45796094 27.097778 26.239229
    Oben rechts KachelX + 1 75403 KachelY 55630 0.47299339 0.45796094 27.100525 26.239229
    Unten links KachelX 75402 KachelY + 1 55631 0.47294545 0.45791795 27.097778 26.236766
    Unten rechts KachelX + 1 75403 KachelY + 1 55631 0.47299339 0.45791795 27.100525 26.236766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45796094-0.45791795) × R
    4.2989999999965e-05 × 6371000     		dl = 273.889289999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45796094-0.45791795) × R
    4.2989999999965e-05 × 6371000     		dr = 273.889289999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47294545-0.47299339) × cos(0.45796094) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.896955870937704 × 6371000     		do = 273.95341062863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47294545-0.47299339) × cos(0.45791795) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.896974876851109 × 6371000     		du = 273.959215523796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45796094)-sin(0.45791795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896955870937704-0.896974876851109)×R²
    abs(0.47299339-0.47294545)×1.90059134052012e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90059134052012e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90059134052012e-05×40589641000000     		ar = 75033.7000909884m²