Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 754 / 847
↖ ↑ ↗
← N 29.688053°
W 47.460938°		 ← 16.980 km → N 29.688053°
W 47.285156°		 →
↑
16.993 km
↓
↑
16.993 km
↓
N 29.535229°
W 47.460938°		 ← 17.006 km →
288.769 km²		 N 29.535229°
W 47.285156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.368408203125 y=0.413818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.368408203125 × 211)
    floor (0.368408203125 × 2048)
    floor (754.5)     		tx = 754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413818359375 × 211)
    floor (0.413818359375 × 2048)
    floor (847.5)     		ty = 847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 754 / 847 ti = "11/754/847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/754/847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 754 ÷ 211
    754 ÷ 2048     		x = 0.3681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 847 ÷ 211
    847 ÷ 2048     		y = 0.41357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3681640625 × 2 - 1) × π
    -0.263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.82834963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41357421875 × 2 - 1) × π
    0.1728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.543029198895996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82834963} λ = -0.82834963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.543029198895996))-π/2
    2×atan(1.72121286931195)-π/2
    2×1.04447529788609-π/2
    2.08895059577217-1.57079632675     		φ = 0.51815427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82834963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.460938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51815427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.688053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 754 KachelY 847 -0.82834963 0.51815427 -47.460938 29.688053
    Oben rechts KachelX + 1 755 KachelY 847 -0.82528166 0.51815427 -47.285156 29.688053
    Unten links KachelX 754 KachelY + 1 848 -0.82834963 0.51548700 -47.460938 29.535229
    Unten rechts KachelX + 1 755 KachelY + 1 848 -0.82528166 0.51548700 -47.285156 29.535229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51815427-0.51548700) × R
    0.00266727 × 6371000     		dl = 16993.17717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51815427-0.51548700) × R
    0.00266727 × 6371000     		dr = 16993.17717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82834963--0.82528166) × cos(0.51815427) × R
    0.00306796999999992 × 0.868734807526026 × 6371000     		do = 16980.3225781556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82834963--0.82528166) × cos(0.51548700) × R
    0.00306796999999992 × 0.870052754632841 × 6371000     		du = 17006.0832208981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51815427)-sin(0.51548700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868734807526026-0.870052754632841)×R²
    abs(-0.82528166--0.82834963)×0.00131794710681477×R²
    0.00306796999999992×0.00131794710681477×6371000²
    0.00306796999999992×0.00131794710681477×40589641000000     		ar = 288768678.757064m²