Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75390 / 54797
↖ ↑ ↗
← N 28.272939°
E 27.064819°		 ← 268.99 m → N 28.272939°
E 27.067566°		 →
↑
268.98 m
↓
↑
268.98 m
↓
N 28.270520°
E 27.064819°		 ← 268.99 m →
72 354 m²		 N 28.270520°
E 27.067566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575183868408203 y=0.418071746826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575183868408203 × 217)
    floor (0.575183868408203 × 131072)
    floor (75390.5)     		tx = 75390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418071746826172 × 217)
    floor (0.418071746826172 × 131072)
    floor (54797.5)     		ty = 54797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75390 / 54797 ti = "17/75390/54797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75390/54797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75390 ÷ 217
    75390 ÷ 131072     		x = 0.575180053710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54797 ÷ 217
    54797 ÷ 131072     		y = 0.418067932128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575180053710938 × 2 - 1) × π
    0.150360107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47237021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418067932128906 × 2 - 1) × π
    0.163864135742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.514794365019783
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47237021} λ = 0.47237021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.514794365019783))-π/2
    2×atan(1.67329437856042)-π/2
    2×1.03212610418832-π/2
    2.06425220837664-1.57079632675     		φ = 0.49345588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47237021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.064819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49345588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.272939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75390 KachelY 54797 0.47237021 0.49345588 27.064819 28.272939
    Oben rechts KachelX + 1 75391 KachelY 54797 0.47241815 0.49345588 27.067566 28.272939
    Unten links KachelX 75390 KachelY + 1 54798 0.47237021 0.49341366 27.064819 28.270520
    Unten rechts KachelX + 1 75391 KachelY + 1 54798 0.47241815 0.49341366 27.067566 28.270520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49345588-0.49341366) × R
    4.22200000000372e-05 × 6371000     		dl = 268.983620000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49345588-0.49341366) × R
    4.22200000000372e-05 × 6371000     		dr = 268.983620000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47237021-0.47241815) × cos(0.49345588) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.880701166360699 × 6371000     		do = 268.988805454403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47237021-0.47241815) × cos(0.49341366) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.880721164020609 × 6371000     		du = 268.994913254479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49345588)-sin(0.49341366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880701166360699-0.880721164020609)×R²
    abs(0.47241815-0.47237021)×1.99976599095653e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.99976599095653e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.99976599095653e-05×40589641000000     		ar = 72354.4040904789m²