Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7539 / 1836
↖ ↑ ↗
← N 69.960439°
E151.303711°		 ← 1 674.45 m → N 69.960439°
E151.347656°		 →
↑
1 675.06 m
↓
↑
1 675.06 m
↓
N 69.945375°
E151.303711°		 ← 1 675.66 m →
2 805 819 m²		 N 69.945375°
E151.347656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.92034912109375 y=0.22418212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.92034912109375 × 213)
    floor (0.92034912109375 × 8192)
    floor (7539.5)     		tx = 7539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22418212890625 × 213)
    floor (0.22418212890625 × 8192)
    floor (1836.5)     		ty = 1836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7539 / 1836 ti = "13/7539/1836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7539/1836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7539 ÷ 213
    7539 ÷ 8192     		x = 0.9202880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1836 ÷ 213
    1836 ÷ 8192     		y = 0.22412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9202880859375 × 2 - 1) × π
    0.840576171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.64074793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22412109375 × 2 - 1) × π
    0.5517578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73339829026123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.64074793} λ = 2.64074793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73339829026123))-π/2
    2×atan(5.65985509479608)-π/2
    2×1.39591816908197-π/2
    2.79183633816394-1.57079632675     		φ = 1.22104001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.64074793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.303711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22104001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.960439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7539 KachelY 1836 2.64074793 1.22104001 151.303711 69.960439
    Oben rechts KachelX + 1 7540 KachelY 1836 2.64151492 1.22104001 151.347656 69.960439
    Unten links KachelX 7539 KachelY + 1 1837 2.64074793 1.22077709 151.303711 69.945375
    Unten rechts KachelX + 1 7540 KachelY + 1 1837 2.64151492 1.22077709 151.347656 69.945375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22104001-1.22077709) × R
    0.000262920000000166 × 6371000     		dl = 1675.06332000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22104001-1.22077709) × R
    0.000262920000000166 × 6371000     		dr = 1675.06332000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.64074793-2.64151492) × cos(1.22104001) × R
    0.000766990000000245 × 0.34266888792337 × 6371000     		do = 1674.44922152984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.64074793-2.64151492) × cos(1.22077709) × R
    0.000766990000000245 × 0.342915877912213 × 6371000     		du = 1675.65613645303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22104001)-sin(1.22077709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34266888792337-0.342915877912213)×R²
    abs(2.64151492-2.64074793)×0.00024698998884376×R²
    0.000766990000000245×0.00024698998884376×6371000²
    0.000766990000000245×0.00024698998884376×40589641000000     		ar = 2805819.31781274m²