Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75389 / 56845
↖ ↑ ↗
← N 23.208534°
E 27.062073°		 ← 280.71 m → N 23.208534°
E 27.064819°		 →
↑
280.71 m
↓
↑
280.71 m
↓
N 23.206009°
E 27.062073°		 ← 280.71 m →
78 798 m²		 N 23.206009°
E 27.064819°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575176239013672 y=0.433696746826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575176239013672 × 217)
    floor (0.575176239013672 × 131072)
    floor (75389.5)     		tx = 75389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433696746826172 × 217)
    floor (0.433696746826172 × 131072)
    floor (56845.5)     		ty = 56845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75389 / 56845 ti = "17/75389/56845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75389/56845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75389 ÷ 217
    75389 ÷ 131072     		x = 0.575172424316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56845 ÷ 217
    56845 ÷ 131072     		y = 0.433692932128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575172424316406 × 2 - 1) × π
    0.150344848632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.47232227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433692932128906 × 2 - 1) × π
    0.132614135742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.416619594597908
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47232227} λ = 0.47232227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.416619594597908))-π/2
    2×atan(1.51682539459844)-π/2
    2×0.987930829655925-π/2
    1.97586165931185-1.57079632675     		φ = 0.40506533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47232227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.062073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40506533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.208534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75389 KachelY 56845 0.47232227 0.40506533 27.062073 23.208534
    Oben rechts KachelX + 1 75390 KachelY 56845 0.47237021 0.40506533 27.064819 23.208534
    Unten links KachelX 75389 KachelY + 1 56846 0.47232227 0.40502127 27.062073 23.206009
    Unten rechts KachelX + 1 75390 KachelY + 1 56846 0.47237021 0.40502127 27.064819 23.206009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40506533-0.40502127) × R
    4.40600000000124e-05 × 6371000     		dl = 280.706260000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40506533-0.40502127) × R
    4.40600000000124e-05 × 6371000     		dr = 280.706260000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47232227-0.47237021) × cos(0.40506533) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.919076653958809 × 6371000     		do = 280.709667152234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47232227-0.47237021) × cos(0.40502127) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.919094016178835 × 6371000     		du = 280.714970021134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40506533)-sin(0.40502127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919076653958809-0.919094016178835)×R²
    abs(0.47237021-0.47232227)×1.73622200259071e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.73622200259071e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.73622200259071e-05×40589641000000     		ar = 78797.705099139m²