Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75388 / 59782
↖ ↑ ↗
← N 15.607166°
E 27.059326°		 ← 294.10 m → N 15.607166°
E 27.062073°		 →
↑
294.15 m
↓
↑
294.15 m
↓
N 15.604520°
E 27.059326°		 ← 294.11 m →
86 511 m²		 N 15.604520°
E 27.062073°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575168609619141 y=0.456104278564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575168609619141 × 217)
    floor (0.575168609619141 × 131072)
    floor (75388.5)     		tx = 75388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456104278564453 × 217)
    floor (0.456104278564453 × 131072)
    floor (59782.5)     		ty = 59782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75388 / 59782 ti = "17/75388/59782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75388/59782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75388 ÷ 217
    75388 ÷ 131072     		x = 0.575164794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59782 ÷ 217
    59782 ÷ 131072     		y = 0.456100463867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575164794921875 × 2 - 1) × π
    0.15032958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47227434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456100463867188 × 2 - 1) × π
    0.087799072265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.275828920413803
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47227434} λ = 0.47227434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.275828920413803))-π/2
    2×atan(1.31762242644449)-π/2
    2×0.921596376445399-π/2
    1.8431927528908-1.57079632675     		φ = 0.27239643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47227434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.059326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27239643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.607166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75388 KachelY 59782 0.47227434 0.27239643 27.059326 15.607166
    Oben rechts KachelX + 1 75389 KachelY 59782 0.47232227 0.27239643 27.062073 15.607166
    Unten links KachelX 75388 KachelY + 1 59783 0.47227434 0.27235026 27.059326 15.604520
    Unten rechts KachelX + 1 75389 KachelY + 1 59783 0.47232227 0.27235026 27.062073 15.604520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27239643-0.27235026) × R
    4.6170000000012e-05 × 6371000     		dl = 294.149070000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27239643-0.27235026) × R
    4.6170000000012e-05 × 6371000     		dr = 294.149070000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47227434-0.47232227) × cos(0.27239643) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.963128926353467 × 6371000     		do = 294.103004102855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47227434-0.47232227) × cos(0.27235026) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.963141346916565 × 6371000     		du = 294.106796871216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27239643)-sin(0.27235026))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.963128926353467-0.963141346916565)×R²
    abs(0.47232227-0.47227434)×1.24205630978036e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.24205630978036e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.24205630978036e-05×40589641000000     		ar = 86510.6829760459m²