Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 75386 / 54866
↖ ↑ ↗
← N 28.105903°
E 27.053833°		 ← 269.41 m → N 28.105903°
E 27.056580°		 →
↑
269.37 m
↓
↑
269.37 m
↓
N 28.103481°
E 27.053833°		 ← 269.42 m →
72 571 m²		 N 28.103481°
E 27.056580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575153350830078 y=0.418598175048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575153350830078 × 217)
    floor (0.575153350830078 × 131072)
    floor (75386.5)     		tx = 75386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418598175048828 × 217)
    floor (0.418598175048828 × 131072)
    floor (54866.5)     		ty = 54866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75386 / 54866 ti = "17/75386/54866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75386/54866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75386 ÷ 217
    75386 ÷ 131072     		x = 0.575149536132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54866 ÷ 217
    54866 ÷ 131072     		y = 0.418594360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575149536132812 × 2 - 1) × π
    0.150299072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47217846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418594360351562 × 2 - 1) × π
    0.162811279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.511486718945999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47217846} λ = 0.47217846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.511486718945999))-π/2
    2×atan(1.66776885625265)-π/2
    2×1.03066844078254-π/2
    2.06133688156508-1.57079632675     		φ = 0.49054055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47217846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.053833°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49054055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.105903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75386 KachelY 54866 0.47217846 0.49054055 27.053833 28.105903
    Oben rechts KachelX + 1 75387 KachelY 54866 0.47222640 0.49054055 27.056580 28.105903
    Unten links KachelX 75386 KachelY + 1 54867 0.47217846 0.49049827 27.053833 28.103481
    Unten rechts KachelX + 1 75387 KachelY + 1 54867 0.47222640 0.49049827 27.056580 28.103481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49054055-0.49049827) × R
    4.22800000000056e-05 × 6371000     		dl = 269.365880000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49054055-0.49049827) × R
    4.22800000000056e-05 × 6371000     		dr = 269.365880000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47217846-0.47222640) × cos(0.49054055) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.882078332892345 × 6371000     		do = 269.409427561434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47217846-0.47222640) × cos(0.49049827) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.882098250328818 × 6371000     		du = 269.415510859208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49054055)-sin(0.49049827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882078332892345-0.882098250328818)×R²
    abs(0.47222640-0.47217846)×1.99174364727828e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.99174364727828e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.99174364727828e-05×40589641000000     		ar = 72570.5268626491m²