Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75381 / 54870
↖ ↑ ↗
← N 28.096212°
E 27.040100°		 ← 269.38 m → N 28.096212°
E 27.042846°		 →
↑
269.43 m
↓
↑
269.43 m
↓
N 28.093789°
E 27.040100°		 ← 269.38 m →
72 579 m²		 N 28.093789°
E 27.042846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575115203857422 y=0.418628692626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575115203857422 × 217)
    floor (0.575115203857422 × 131072)
    floor (75381.5)     		tx = 75381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418628692626953 × 217)
    floor (0.418628692626953 × 131072)
    floor (54870.5)     		ty = 54870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75381 / 54870 ti = "17/75381/54870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75381/54870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75381 ÷ 217
    75381 ÷ 131072     		x = 0.575111389160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54870 ÷ 217
    54870 ÷ 131072     		y = 0.418624877929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575111389160156 × 2 - 1) × π
    0.150222778320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.47193878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418624877929688 × 2 - 1) × π
    0.162750244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.511294971347519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47193878} λ = 0.47193878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.511294971347519))-π/2
    2×atan(1.66744909623723)-π/2
    2×1.0305838687624-π/2
    2.0611677375248-1.57079632675     		φ = 0.49037141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47193878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.040100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49037141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.096212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75381 KachelY 54870 0.47193878 0.49037141 27.040100 28.096212
    Oben rechts KachelX + 1 75382 KachelY 54870 0.47198671 0.49037141 27.042846 28.096212
    Unten links KachelX 75381 KachelY + 1 54871 0.47193878 0.49032912 27.040100 28.093789
    Unten rechts KachelX + 1 75382 KachelY + 1 54871 0.47198671 0.49032912 27.042846 28.093789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49037141-0.49032912) × R
    4.22900000000004e-05 × 6371000     		dl = 269.429590000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49037141-0.49032912) × R
    4.22900000000004e-05 × 6371000     		dr = 269.429590000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47193878-0.47198671) × cos(0.49037141) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.882158002596141 × 6371000     		do = 269.377558453356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47193878-0.47198671) × cos(0.49032912) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.882177918433467 × 6371000     		du = 269.383639993871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49037141)-sin(0.49032912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882158002596141-0.882177918433467)×R²
    abs(0.47198671-0.47193878)×1.99158373260788e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.99158373260788e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.99158373260788e-05×40589641000000     		ar = 72579.1044135265m²