Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75380 / 55508
↖ ↑ ↗
← N 26.539394°
E 27.037354°		 ← 273.24 m → N 26.539394°
E 27.040100°		 →
↑
273.19 m
↓
↑
273.19 m
↓
N 26.536937°
E 27.037354°		 ← 273.25 m →
74 647 m²		 N 26.536937°
E 27.040100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575107574462891 y=0.423496246337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575107574462891 × 217)
    floor (0.575107574462891 × 131072)
    floor (75380.5)     		tx = 75380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423496246337891 × 217)
    floor (0.423496246337891 × 131072)
    floor (55508.5)     		ty = 55508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75380 / 55508 ti = "17/75380/55508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75380/55508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75380 ÷ 217
    75380 ÷ 131072     		x = 0.575103759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55508 ÷ 217
    55508 ÷ 131072     		y = 0.423492431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575103759765625 × 2 - 1) × π
    0.15020751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.47189084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423492431640625 × 2 - 1) × π
    0.15301513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.480711229389923
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47189084} λ = 0.47189084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.480711229389923))-π/2
    2×atan(1.61722421064435)-π/2
    2×1.01699806965453-π/2
    2.03399613930906-1.57079632675     		φ = 0.46319981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47189084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.037354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46319981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.539394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75380 KachelY 55508 0.47189084 0.46319981 27.037354 26.539394
    Oben rechts KachelX + 1 75381 KachelY 55508 0.47193878 0.46319981 27.040100 26.539394
    Unten links KachelX 75380 KachelY + 1 55509 0.47189084 0.46315693 27.037354 26.536937
    Unten rechts KachelX + 1 75381 KachelY + 1 55509 0.47193878 0.46315693 27.040100 26.536937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46319981-0.46315693) × R
    4.28799999999674e-05 × 6371000     		dl = 273.188479999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46319981-0.46315693) × R
    4.28799999999674e-05 × 6371000     		dr = 273.188479999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47189084-0.47193878) × cos(0.46319981) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.894627363117402 × 6371000     		do = 273.242224404518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47189084-0.47193878) × cos(0.46315693) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.894646521637524 × 6371000     		du = 273.248075909704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46319981)-sin(0.46315693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894627363117402-0.894646521637524)×R²
    abs(0.47193878-0.47189084)×1.91585201219091e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91585201219091e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91585201219091e-05×40589641000000     		ar = 74647.4272501991m²