Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7538 / 5398
↖ ↑ ↗
← N 76.127162°
W 97.185059°		 ← 292.91 m → N 76.127162°
W 97.174072°		 →
↑
292.94 m
↓
↑
292.94 m
↓
N 76.124528°
W 97.185059°		 ← 292.96 m →
85 813 m²		 N 76.124528°
W 97.174072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.230056762695312 y=0.164749145507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.230056762695312 × 215)
    floor (0.230056762695312 × 32768)
    floor (7538.5)     		tx = 7538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164749145507812 × 215)
    floor (0.164749145507812 × 32768)
    floor (5398.5)     		ty = 5398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7538 / 5398 ti = "15/7538/5398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7538/5398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7538 ÷ 215
    7538 ÷ 32768     		x = 0.23004150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5398 ÷ 215
    5398 ÷ 32768     		y = 0.16473388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.23004150390625 × 2 - 1) × π
    -0.5399169921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.69619926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16473388671875 × 2 - 1) × π
    0.6705322265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.10653911690375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69619926} λ = -1.69619926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10653911690375))-π/2
    2×atan(8.21974442638231)-π/2
    2×1.44973297938426-π/2
    2.89946595876852-1.57079632675     		φ = 1.32866963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69619926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.185059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32866963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.127162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7538 KachelY 5398 -1.69619926 1.32866963 -97.185059 76.127162
    Oben rechts KachelX + 1 7539 KachelY 5398 -1.69600751 1.32866963 -97.174072 76.127162
    Unten links KachelX 7538 KachelY + 1 5399 -1.69619926 1.32862365 -97.185059 76.124528
    Unten rechts KachelX + 1 7539 KachelY + 1 5399 -1.69600751 1.32862365 -97.174072 76.124528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32866963-1.32862365) × R
    4.5980000000112e-05 × 6371000     		dl = 292.938580000714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32866963-1.32862365) × R
    4.5980000000112e-05 × 6371000     		dr = 292.938580000714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69619926--1.69600751) × cos(1.32866963) × R
    0.000191749999999935 × 0.239767828682662 × 6371000     		do = 292.909790405917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69619926--1.69600751) × cos(1.32862365) × R
    0.000191749999999935 × 0.23981246720442 × 6371000     		du = 292.964322576157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32866963)-sin(1.32862365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239767828682662-0.23981246720442)×R²
    abs(-1.69600751--1.69619926)×4.46385217574008e-05×R²
    0.000191749999999935×4.46385217574008e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.46385217574008e-05×40589641000000     		ar = 85812.5653731392m²