Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7538 / 1838
↖ ↑ ↗
← N 69.930300°
E151.259766°		 ← 1 676.86 m → N 69.930300°
E151.303711°		 →
↑
1 677.48 m
↓
↑
1 677.48 m
↓
N 69.915214°
E151.259766°		 ← 1 678.07 m →
2 813 926 m²		 N 69.915214°
E151.303711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.92022705078125 y=0.22442626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.92022705078125 × 213)
    floor (0.92022705078125 × 8192)
    floor (7538.5)     		tx = 7538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22442626953125 × 213)
    floor (0.22442626953125 × 8192)
    floor (1838.5)     		ty = 1838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7538 / 1838 ti = "13/7538/1838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7538/1838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7538 ÷ 213
    7538 ÷ 8192     		x = 0.920166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1838 ÷ 213
    1838 ÷ 8192     		y = 0.224365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.920166015625 × 2 - 1) × π
    0.84033203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.63998094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224365234375 × 2 - 1) × π
    0.55126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73186430947339
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63998094} λ = 2.63998094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73186430947339))-π/2
    2×atan(5.65117964150921)-π/2
    2×1.39565515588007-π/2
    2.79131031176013-1.57079632675     		φ = 1.22051399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63998094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.259766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22051399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.930300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7538 KachelY 1838 2.63998094 1.22051399 151.259766 69.930300
    Oben rechts KachelX + 1 7539 KachelY 1838 2.64074793 1.22051399 151.303711 69.930300
    Unten links KachelX 7538 KachelY + 1 1839 2.63998094 1.22025069 151.259766 69.915214
    Unten rechts KachelX + 1 7539 KachelY + 1 1839 2.64074793 1.22025069 151.303711 69.915214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22051399-1.22025069) × R
    0.000263299999999855 × 6371000     		dl = 1677.48429999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22051399-1.22025069) × R
    0.000263299999999855 × 6371000     		dr = 1677.48429999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63998094-2.64074793) × cos(1.22051399) × R
    0.000766989999999801 × 0.343163013265997 × 6371000     		do = 1676.86376170004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63998094-2.64074793) × cos(1.22025069) × R
    0.000766989999999801 × 0.343410312702587 × 6371000     		du = 1678.07218873756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22051399)-sin(1.22025069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343163013265997-0.343410312702587)×R²
    abs(2.64074793-2.63998094)×0.000247299436589632×R²
    0.000766989999999801×0.000247299436589632×6371000²
    0.000766989999999801×0.000247299436589632×40589641000000     		ar = 2813926.20843714m²