Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7538 / 10390
↖ ↑ ↗
← S 43.421009°
W 14.370117°		 ← 1 774.61 m → S 43.421009°
W 14.348144°		 →
↑
1 774.32 m
↓
↑
1 774.32 m
↓
S 43.436966°
W 14.370117°		 ← 1 774.14 m →
3 148 315 m²		 S 43.436966°
W 14.348144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460113525390625 y=0.634185791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460113525390625 × 214)
    floor (0.460113525390625 × 16384)
    floor (7538.5)     		tx = 7538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634185791015625 × 214)
    floor (0.634185791015625 × 16384)
    floor (10390.5)     		ty = 10390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7538 / 10390 ti = "14/7538/10390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7538/10390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7538 ÷ 214
    7538 ÷ 16384     		x = 0.4600830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10390 ÷ 214
    10390 ÷ 16384     		y = 0.6341552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4600830078125 × 2 - 1) × π
    -0.079833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25080586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6341552734375 × 2 - 1) × π
    -0.268310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.842922442919067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25080586} λ = -0.25080586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.842922442919067))-π/2
    2×atan(0.430450715821342)-π/2
    2×0.406478379096143-π/2
    0.812956758192285-1.57079632675     		φ = -0.75783957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25080586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.370117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75783957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.421009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7538 KachelY 10390 -0.25080586 -0.75783957 -14.370117 -43.421009
    Oben rechts KachelX + 1 7539 KachelY 10390 -0.25042236 -0.75783957 -14.348144 -43.421009
    Unten links KachelX 7538 KachelY + 1 10391 -0.25080586 -0.75811807 -14.370117 -43.436966
    Unten rechts KachelX + 1 7539 KachelY + 1 10391 -0.25042236 -0.75811807 -14.348144 -43.436966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75783957--0.75811807) × R
    0.000278499999999959 × 6371000     		dl = 1774.32349999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75783957--0.75811807) × R
    0.000278499999999959 × 6371000     		dr = 1774.32349999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25080586--0.25042236) × cos(-0.75783957) × R
    0.000383499999999981 × 0.726322684570668 × 6371000     		do = 1774.60859927371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25080586--0.25042236) × cos(-0.75811807) × R
    0.000383499999999981 × 0.726131228349643 × 6371000     		du = 1774.14081840519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75783957)-sin(-0.75811807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726322684570668-0.726131228349643)×R²
    abs(-0.25042236--0.25080586)×0.000191456221025343×R²
    0.000383499999999981×0.000191456221025343×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191456221025343×40589641000000     		ar = 3148314.76404768m²