Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75379 / 54893
↖ ↑ ↗
← N 28.040471°
E 27.034607°		 ← 269.57 m → N 28.040471°
E 27.037354°		 →
↑
269.56 m
↓
↑
269.56 m
↓
N 28.038047°
E 27.034607°		 ← 269.58 m →
72 666 m²		 N 28.038047°
E 27.037354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575099945068359 y=0.418804168701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575099945068359 × 217)
    floor (0.575099945068359 × 131072)
    floor (75379.5)     		tx = 75379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418804168701172 × 217)
    floor (0.418804168701172 × 131072)
    floor (54893.5)     		ty = 54893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75379 / 54893 ti = "17/75379/54893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75379/54893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75379 ÷ 217
    75379 ÷ 131072     		x = 0.575096130371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54893 ÷ 217
    54893 ÷ 131072     		y = 0.418800354003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575096130371094 × 2 - 1) × π
    0.150192260742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.47184290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418800354003906 × 2 - 1) × π
    0.162399291992188 × 3.1415926535     		Φ = 0.510192422656258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47184290} λ = 0.47184290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.510192422656258))-π/2
    2×atan(1.66561166553297)-π/2
    2×1.0300974314835-π/2
    2.06019486296701-1.57079632675     		φ = 0.48939854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47184290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.034607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48939854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.040471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75379 KachelY 54893 0.47184290 0.48939854 27.034607 28.040471
    Oben rechts KachelX + 1 75380 KachelY 54893 0.47189084 0.48939854 27.037354 28.040471
    Unten links KachelX 75379 KachelY + 1 54894 0.47184290 0.48935623 27.034607 28.038047
    Unten rechts KachelX + 1 75380 KachelY + 1 54894 0.47189084 0.48935623 27.037354 28.038047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48939854-0.48935623) × R
    4.23099999999899e-05 × 6371000     		dl = 269.557009999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48939854-0.48935623) × R
    4.23099999999899e-05 × 6371000     		dr = 269.557009999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47184290-0.47189084) × cos(0.48939854) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.882615761645981 × 6371000     		do = 269.57357213621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47184290-0.47189084) × cos(0.48935623) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.882635650580296 × 6371000     		du = 269.579646728692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48939854)-sin(0.48935623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882615761645981-0.882635650580296)×R²
    abs(0.47189084-0.47184290)×1.98889343152597e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.98889343152597e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.98889343152597e-05×40589641000000     		ar = 72666.2648153395m²