Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75376 / 55664
↖ ↑ ↗
← N 26.155438°
E 27.026367°		 ← 274.15 m → N 26.155438°
E 27.029114°		 →
↑
274.14 m
↓
↑
274.14 m
↓
N 26.152973°
E 27.026367°		 ← 274.16 m →
75 158 m²		 N 26.152973°
E 27.029114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575077056884766 y=0.424686431884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575077056884766 × 217)
    floor (0.575077056884766 × 131072)
    floor (75376.5)     		tx = 75376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424686431884766 × 217)
    floor (0.424686431884766 × 131072)
    floor (55664.5)     		ty = 55664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75376 / 55664 ti = "17/75376/55664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75376/55664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75376 ÷ 217
    75376 ÷ 131072     		x = 0.5750732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55664 ÷ 217
    55664 ÷ 131072     		y = 0.4246826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5750732421875 × 2 - 1) × π
    0.150146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47169909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4246826171875 × 2 - 1) × π
    0.150634765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.473233073049194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47169909} λ = 0.47169909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.473233073049194))-π/2
    2×atan(1.60517546252018)-π/2
    2×1.01364741831897-π/2
    2.02729483663794-1.57079632675     		φ = 0.45649851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47169909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.026367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45649851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.155438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75376 KachelY 55664 0.47169909 0.45649851 27.026367 26.155438
    Oben rechts KachelX + 1 75377 KachelY 55664 0.47174703 0.45649851 27.029114 26.155438
    Unten links KachelX 75376 KachelY + 1 55665 0.47169909 0.45645548 27.026367 26.152973
    Unten rechts KachelX + 1 75377 KachelY + 1 55665 0.47174703 0.45645548 27.029114 26.152973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45649851-0.45645548) × R
    4.30299999999995e-05 × 6371000     		dl = 274.144129999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45649851-0.45645548) × R
    4.30299999999995e-05 × 6371000     		dr = 274.144129999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47169909-0.47174703) × cos(0.45649851) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.89760148121631 × 6371000     		do = 274.150596625725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47169909-0.47174703) × cos(0.45645548) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.897620448348089 × 6371000     		du = 274.156389675985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45649851)-sin(0.45645548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89760148121631-0.897620448348089)×R²
    abs(0.47174703-0.47169909)×1.89671317794016e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.89671317794016e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.89671317794016e-05×40589641000000     		ar = 75157.5708778957m²