Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75376 / 55486
↖ ↑ ↗
← N 26.593439°
E 27.026367°		 ← 273.11 m → N 26.593439°
E 27.029114°		 →
↑
273.06 m
↓
↑
273.06 m
↓
N 26.590983°
E 27.026367°		 ← 273.12 m →
74 577 m²		 N 26.590983°
E 27.029114°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575077056884766 y=0.423328399658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575077056884766 × 217)
    floor (0.575077056884766 × 131072)
    floor (75376.5)     		tx = 75376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423328399658203 × 217)
    floor (0.423328399658203 × 131072)
    floor (55486.5)     		ty = 55486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75376 / 55486 ti = "17/75376/55486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75376/55486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75376 ÷ 217
    75376 ÷ 131072     		x = 0.5750732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55486 ÷ 217
    55486 ÷ 131072     		y = 0.423324584960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5750732421875 × 2 - 1) × π
    0.150146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47169909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423324584960938 × 2 - 1) × π
    0.153350830078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.481765841181564
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47169909} λ = 0.47169909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.481765841181564))-π/2
    2×atan(1.61893065402612)-π/2
    2×1.01746970073873-π/2
    2.03493940147746-1.57079632675     		φ = 0.46414307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47169909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.026367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46414307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.593439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75376 KachelY 55486 0.47169909 0.46414307 27.026367 26.593439
    Oben rechts KachelX + 1 75377 KachelY 55486 0.47174703 0.46414307 27.029114 26.593439
    Unten links KachelX 75376 KachelY + 1 55487 0.47169909 0.46410021 27.026367 26.590983
    Unten rechts KachelX + 1 75377 KachelY + 1 55487 0.47174703 0.46410021 27.029114 26.590983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46414307-0.46410021) × R
    4.28599999999779e-05 × 6371000     		dl = 273.061059999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46414307-0.46410021) × R
    4.28599999999779e-05 × 6371000     		dr = 273.061059999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47169909-0.47174703) × cos(0.46414307) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.894205504331394 × 6371000     		do = 273.113377872627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47169909-0.47174703) × cos(0.46410021) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.894224690075991 × 6371000     		du = 273.119237692867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46414307)-sin(0.46410021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894205504331394-0.894224690075991)×R²
    abs(0.47174703-0.47169909)×1.91857445965837e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91857445965837e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91857445965837e-05×40589641000000     		ar = 74577.4285178308m²