Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75374 / 54906
↖ ↑ ↗
← N 28.008952°
E 27.020874°		 ← 269.65 m → N 28.008952°
E 27.023621°		 →
↑
269.68 m
↓
↑
269.68 m
↓
N 28.006527°
E 27.020874°		 ← 269.66 m →
72 722 m²		 N 28.006527°
E 27.023621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575061798095703 y=0.418903350830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575061798095703 × 217)
    floor (0.575061798095703 × 131072)
    floor (75374.5)     		tx = 75374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418903350830078 × 217)
    floor (0.418903350830078 × 131072)
    floor (54906.5)     		ty = 54906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75374 / 54906 ti = "17/75374/54906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75374/54906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75374 ÷ 217
    75374 ÷ 131072     		x = 0.575057983398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54906 ÷ 217
    54906 ÷ 131072     		y = 0.418899536132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575057983398438 × 2 - 1) × π
    0.150115966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47160322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418899536132812 × 2 - 1) × π
    0.162200927734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.509569242961197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47160322} λ = 0.47160322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.509569242961197))-π/2
    2×atan(1.66457401351857)-π/2
    2×1.02982237709908-π/2
    2.05964475419816-1.57079632675     		φ = 0.48884843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47160322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.020874°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48884843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.008952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75374 KachelY 54906 0.47160322 0.48884843 27.020874 28.008952
    Oben rechts KachelX + 1 75375 KachelY 54906 0.47165116 0.48884843 27.023621 28.008952
    Unten links KachelX 75374 KachelY + 1 54907 0.47160322 0.48880610 27.020874 28.006527
    Unten rechts KachelX + 1 75375 KachelY + 1 54907 0.47165116 0.48880610 27.023621 28.006527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48884843-0.48880610) × R
    4.23299999999793e-05 × 6371000     		dl = 269.684429999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48884843-0.48880610) × R
    4.23299999999793e-05 × 6371000     		dr = 269.684429999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47160322-0.47165116) × cos(0.48884843) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.882874232107702 × 6371000     		do = 269.652515668562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47160322-0.47165116) × cos(0.48880610) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.882894109887203 × 6371000     		du = 269.658586854076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48884843)-sin(0.48880610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882874232107702-0.882894109887203)×R²
    abs(0.47165116-0.47160322)×1.98777795004101e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.98777795004101e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.98777795004101e-05×40589641000000     		ar = 72721.9036490859m²