Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75374 / 54708
↖ ↑ ↗
← N 28.488005°
E 27.020874°		 ← 268.44 m → N 28.488005°
E 27.023621°		 →
↑
268.41 m
↓
↑
268.41 m
↓
N 28.485591°
E 27.020874°		 ← 268.45 m →
72 054 m²		 N 28.485591°
E 27.023621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575061798095703 y=0.417392730712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575061798095703 × 217)
    floor (0.575061798095703 × 131072)
    floor (75374.5)     		tx = 75374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417392730712891 × 217)
    floor (0.417392730712891 × 131072)
    floor (54708.5)     		ty = 54708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75374 / 54708 ti = "17/75374/54708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75374/54708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75374 ÷ 217
    75374 ÷ 131072     		x = 0.575057983398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54708 ÷ 217
    54708 ÷ 131072     		y = 0.417388916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575057983398438 × 2 - 1) × π
    0.150115966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47160322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417388916015625 × 2 - 1) × π
    0.16522216796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.519060749085968
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47160322} λ = 0.47160322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.519060749085968))-π/2
    2×atan(1.68044854539515)-π/2
    2×1.03400290745986-π/2
    2.06800581491972-1.57079632675     		φ = 0.49720949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47160322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.020874°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49720949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.488005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75374 KachelY 54708 0.47160322 0.49720949 27.020874 28.488005
    Oben rechts KachelX + 1 75375 KachelY 54708 0.47165116 0.49720949 27.023621 28.488005
    Unten links KachelX 75374 KachelY + 1 54709 0.47160322 0.49716736 27.020874 28.485591
    Unten rechts KachelX + 1 75375 KachelY + 1 54709 0.47165116 0.49716736 27.023621 28.485591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49720949-0.49716736) × R
    4.21299999999736e-05 × 6371000     		dl = 268.410229999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49720949-0.49716736) × R
    4.21299999999736e-05 × 6371000     		dr = 268.410229999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47160322-0.47165116) × cos(0.49720949) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.878916985072001 × 6371000     		do = 268.44387056432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47160322-0.47165116) × cos(0.49716736) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.878937079239138 × 6371000     		du = 268.450007840187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49720949)-sin(0.49716736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878916985072001-0.878937079239138)×R²
    abs(0.47165116-0.47160322)×2.009416713733e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.009416713733e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.009416713733e-05×40589641000000     		ar = 72053.9047046993m²