Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75372 / 55661
↖ ↑ ↗
← N 26.162834°
E 27.015381°		 ← 274.13 m → N 26.162834°
E 27.018127°		 →
↑
274.14 m
↓
↑
274.14 m
↓
N 26.160368°
E 27.015381°		 ← 274.14 m →
75 153 m²		 N 26.160368°
E 27.018127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575046539306641 y=0.424663543701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575046539306641 × 217)
    floor (0.575046539306641 × 131072)
    floor (75372.5)     		tx = 75372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424663543701172 × 217)
    floor (0.424663543701172 × 131072)
    floor (55661.5)     		ty = 55661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75372 / 55661 ti = "17/75372/55661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75372/55661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75372 ÷ 217
    75372 ÷ 131072     		x = 0.575042724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55661 ÷ 217
    55661 ÷ 131072     		y = 0.424659729003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575042724609375 × 2 - 1) × π
    0.15008544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47150734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424659729003906 × 2 - 1) × π
    0.150680541992188 × 3.1415926535     		Φ = 0.473376883748055
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47150734} λ = 0.47150734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.473376883748055))-π/2
    2×atan(1.60540632052476)-π/2
    2×1.01371195862123-π/2
    2.02742391724247-1.57079632675     		φ = 0.45662759
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47150734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.015381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45662759 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.162834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75372 KachelY 55661 0.47150734 0.45662759 27.015381 26.162834
    Oben rechts KachelX + 1 75373 KachelY 55661 0.47155528 0.45662759 27.018127 26.162834
    Unten links KachelX 75372 KachelY + 1 55662 0.47150734 0.45658456 27.015381 26.160368
    Unten rechts KachelX + 1 75373 KachelY + 1 55662 0.47155528 0.45658456 27.018127 26.160368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45662759-0.45658456) × R
    4.3030000000055e-05 × 6371000     		dl = 274.14413000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45662759-0.45658456) × R
    4.3030000000055e-05 × 6371000     		dr = 274.14413000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47150734-0.47155528) × cos(0.45662759) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.897544574258459 × 6371000     		do = 274.133215776012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47150734-0.47155528) × cos(0.45658456) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.897563546375692 × 6371000     		du = 274.139010348958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45662759)-sin(0.45658456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897544574258459-0.897563546375692)×R²
    abs(0.47155528-0.47150734)×1.89721172331181e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.89721172331181e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.89721172331181e-05×40589641000000     		ar = 75152.8062288625m²