Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 75372 / 54913
↖ ↑ ↗
← N 27.991976°
E 27.015381°		 ← 269.69 m → N 27.991976°
E 27.018127°		 →
↑
269.68 m
↓
↑
269.68 m
↓
N 27.989551°
E 27.015381°		 ← 269.70 m →
72 733 m²		 N 27.989551°
E 27.018127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 75372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575046539306641 y=0.418956756591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575046539306641 × 217)
    floor (0.575046539306641 × 131072)
    floor (75372.5)     		tx = 75372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418956756591797 × 217)
    floor (0.418956756591797 × 131072)
    floor (54913.5)     		ty = 54913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 75372 / 54913 ti = "17/75372/54913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/75372/54913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 75372 ÷ 217
    75372 ÷ 131072     		x = 0.575042724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54913 ÷ 217
    54913 ÷ 131072     		y = 0.418952941894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575042724609375 × 2 - 1) × π
    0.15008544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47150734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418952941894531 × 2 - 1) × π
    0.162094116210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.509233684663857
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47150734} λ = 0.47150734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.509233684663857))-π/2
    2×atan(1.66401554560131)-π/2
    2×1.02967423754228-π/2
    2.05934847508457-1.57079632675     		φ = 0.48855215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47150734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.015381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48855215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.991976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 75372 KachelY 54913 0.47150734 0.48855215 27.015381 27.991976
    Oben rechts KachelX + 1 75373 KachelY 54913 0.47155528 0.48855215 27.018127 27.991976
    Unten links KachelX 75372 KachelY + 1 54914 0.47150734 0.48850982 27.015381 27.989551
    Unten rechts KachelX + 1 75373 KachelY + 1 54914 0.47155528 0.48850982 27.018127 27.989551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48855215-0.48850982) × R
    4.23300000000348e-05 × 6371000     		dl = 269.684430000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48855215-0.48850982) × R
    4.23300000000348e-05 × 6371000     		dr = 269.684430000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47150734-0.47155528) × cos(0.48855215) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.883013329260623 × 6371000     		do = 269.694999519425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47150734-0.47155528) × cos(0.48850982) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.88303319596653 × 6371000     		du = 269.701067322778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48855215)-sin(0.48850982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883013329260623-0.88303319596653)×R²
    abs(0.47155528-0.47150734)×1.98667059077007e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.98667059077007e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.98667059077007e-05×40589641000000     		ar = 72733.360426155m²