Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7537 / 3763
↖ ↑ ↗
← N 69.263930°
W 14.392090°		 ← 865.05 m → N 69.263930°
W 14.370117°		 →
↑
865.25 m
↓
↑
865.25 m
↓
N 69.256149°
W 14.392090°		 ← 865.36 m →
748 618 m²		 N 69.256149°
W 14.370117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460052490234375 y=0.229705810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460052490234375 × 214)
    floor (0.460052490234375 × 16384)
    floor (7537.5)     		tx = 7537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229705810546875 × 214)
    floor (0.229705810546875 × 16384)
    floor (3763.5)     		ty = 3763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7537 / 3763 ti = "14/7537/3763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7537/3763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7537 ÷ 214
    7537 ÷ 16384     		x = 0.46002197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3763 ÷ 214
    3763 ÷ 16384     		y = 0.22967529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46002197265625 × 2 - 1) × π
    -0.0799560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25118935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22967529296875 × 2 - 1) × π
    0.5406494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69850022733783
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25118935} λ = -0.25118935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69850022733783))-π/2
    2×atan(5.46574386832269)-π/2
    2×1.3898399820939-π/2
    2.77967996418779-1.57079632675     		φ = 1.20888364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25118935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.392090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20888364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.263930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7537 KachelY 3763 -0.25118935 1.20888364 -14.392090 69.263930
    Oben rechts KachelX + 1 7538 KachelY 3763 -0.25080586 1.20888364 -14.370117 69.263930
    Unten links KachelX 7537 KachelY + 1 3764 -0.25118935 1.20874783 -14.392090 69.256149
    Unten rechts KachelX + 1 7538 KachelY + 1 3764 -0.25080586 1.20874783 -14.370117 69.256149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20888364-1.20874783) × R
    0.000135809999999958 × 6371000     		dl = 865.245509999735m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20888364-1.20874783) × R
    0.000135809999999958 × 6371000     		dr = 865.245509999735m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25118935--0.25080586) × cos(1.20888364) × R
    0.000383489999999986 × 0.35406366530498 × 6371000     		do = 865.053583674706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25118935--0.25080586) × cos(1.20874783) × R
    0.000383489999999986 × 0.354190674447077 × 6371000     		du = 865.363894289142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20888364)-sin(1.20874783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35406366530498-0.354190674447077)×R²
    abs(-0.25080586--0.25118935)×0.000127009142096735×R²
    0.000383489999999986×0.000127009142096735×6371000²
    0.000383489999999986×0.000127009142096735×40589641000000     		ar = 748617.977767728m²